Районная олимпиада, 2014-2015 учебный год, 8 класс

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Задача №1. Решите уравнение

${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=2015$ в целых числах.
комментарий/решение(2)

Задача №2. Пусть

$a\leq b\leq c$ — действительные числа. Докажите неравенство

${{c}^{2}}-{{b}^{2}}+{{a}^{2}}\geq {{\left( c-b+a \right)}^{2}}.$
комментарий/решение(1)

Задача №3. Пусть

$M,~N,~K$ — середины сторон

$AB,~BC,~CA$ треугольника

$ABC$ , соответственно. На отрезке

$MN$ выбрана точка

$P$ , а на отрезке

$NK$ — точка

$Q$ . Возможно ли одновременное выполнение соотношений

$AP+AQ=BC$ и

$BQ+CP=AB+AC$ ?
комментарий/решение(1)

Задача №4. Натуральные числа от 1 до 30 000 выписаны по порядку:

$123456789101112 \dots 2999930000.$ Сколько раз в этой последовательности цифр встречается комбинация 2015 (именно в этом порядке)?
комментарий/решение(2)

Задача №5. В каждой клетке прямоугольной таблицы стоит действительное число, причем в таблице нет одинаковых чисел. В каждой строке выбрано наибольшее число,

$A$ — наименьшее из них. В каждом столбце выбрано наименьшее число,

$B$ — наибольшее из них. Сравните числа

$A$ и

$B$ .
комментарий/решение(1)

Задача №6. На плоскости даны прямая

$l$ и отрезок

$s$ , лежащий на прямой, параллельной

$l$ . Используя только линейку без делений, постройте середину отрезка

$s$ .
комментарий/решение(1)