1-ші халықаралық Жәутіков олимпиадасы, кіші лига, 2005 жыл

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Есеп №1. Өлшемі $9 \times 9$ кестенің 40 шаршысы белгіленген. Егер белгленген шаршыларының саны белгіленбеген шаршыларының санынан көп болса, 9 шаршыдан тұратын горизонталь немесе вертикаль қатарды жақсы дейміз. Осы кестенің жалпы саны ең көп дегенде қанша жақсы (горизонталь және вертикаль) қатары болуы мүмкін?
комментарий/решение(2)

Есеп №2. $0\le m\le 2n$ болатындай $m$ және $n$ бүтін сандары берілген. Онда ${{2}^{2n+2}}+{{2}^{m+2}}+1$ санының $m=n$ болғанда ғана толық квадрат болатынын дәлелдеңдер.
комментарий/решение(2)

Есеп №3. Жазықтықта ешбір үшеуі бір түзудің бойында жатпайтын $2n$ нүктеден тұратын $A$ жиыны берілген. Кез келген әртүрлі екі $a,b\in A$ нүктесі үшін, $A$ жиынын $n$ нүктеден тұратын екі ішкі жиынға бөлетін және $a,b$ әртүрлі екі жағында жататын түзу жүргізуге болатынын дәлелде.
комментарий/решение

Есеп №4. Кез келген оң нақты $,b,c$ сандары үшін $\dfrac{c}{a+2b}+\dfrac{a}{b+2c}+\dfrac{b}{c+2a}\ge 1$ теңсіздігін дәлелде.
комментарий/решение(6)

Есеп №5. $ABC$ үшбұрышына іштей сызылған шеңбер $AB$ қабырғасын $D$ нүктесінде жанайды, ал $M$ — осы қабырғаның ортасы. $M$ нүктесі, іштей сызылған шеңбер центрі және $CD$ кесіндісінің ортасы бір түзудің бойында жататынын дәлелдеңдер.
комментарий/решение(3)

Есеп №6. 2005-тен аспайтын мынандай барлық $p,q$ жай сандарын табыңдар: ${{p}^{2}}+4$ саны $q$-ға бөлінеді, ал ${{q}^{2}}+4$ саны $p$-ға бөлінеді.
комментарий/решение(4)

результаты