1-ші халықаралық Жәутіков олимпиадасы, кіші лига, 2005 жыл

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Есеп №1. Өлшемі

$9 \times 9$ кестенің 40 шаршысы белгіленген. Егер белгленген шаршыларының саны белгіленбеген шаршыларының санынан көп болса, 9 шаршыдан тұратын горизонталь немесе вертикаль қатарды жақсы дейміз. Осы кестенің жалпы саны ең көп дегенде қанша жақсы (горизонталь және вертикаль) қатары болуы мүмкін?
комментарий/решение(2)

Есеп №2.

$0\le m\le 2n$ болатындай

$m$ және

$n$ бүтін сандары берілген. Онда

${{2}^{2n+2}}+{{2}^{m+2}}+1$ санының

$m=n$ болғанда ғана толық квадрат болатынын дәлелдеңдер.
комментарий/решение(2)

Есеп №3. Жазықтықта ешбір үшеуі бір түзудің бойында жатпайтын

$2n$ нүктеден тұратын

$A$ жиыны берілген. Кез келген әртүрлі екі

$a,b\in A$ нүктесі үшін,

$A$ жиынын

$n$ нүктеден тұратын екі ішкі жиынға бөлетін және

$a,b$ әртүрлі екі жағында жататын түзу жүргізуге болатынын дәлелде.
комментарий/решение

Есеп №4. Кез келген оң нақты

$,b,c$ сандары үшін

$\dfrac{c}{a+2b}+\dfrac{a}{b+2c}+\dfrac{b}{c+2a}\ge 1$ теңсіздігін дәлелде.
комментарий/решение(7)

Есеп №5.

$ABC$ үшбұрышына іштей сызылған шеңбер

$AB$ қабырғасын

$D$ нүктесінде жанайды, ал

$M$ — осы қабырғаның ортасы.

$M$ нүктесі, іштей сызылған шеңбер центрі және

$CD$ кесіндісінің ортасы бір түзудің бойында жататынын дәлелдеңдер.
комментарий/решение(3)

Есеп №6. 2005-тен аспайтын мынандай барлық

$p,q$ жай сандарын табыңдар:

${{p}^{2}}+4$ саны

$q$ -ға бөлінеді, ал

${{q}^{2}}+4$ саны

$p$ -ға бөлінеді.
комментарий/решение(4)

результаты