1-ші халықаралық Жәутіков олимпиадасы, кіші лига, 2005 жыл

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Есеп №1. Өлшемі

9 \times 9

$9 \times 9$ кестенің 40 шаршысы белгіленген. Егер белгленген шаршыларының саны белгіленбеген шаршыларының санынан көп болса, 9 шаршыдан тұратын горизонталь немесе вертикаль қатарды жақсы дейміз. Осы кестенің жалпы саны ең көп дегенде қанша жақсы (горизонталь және вертикаль) қатары болуы мүмкін?
комментарий/решение(2)

Есеп №2.

0 \leq m \leq 2 n

$0\le m\le 2n$ болатындай

m

$m$ және

n

$n$ бүтін сандары берілген. Онда

2^{2 n + 2} + 2^{m + 2} + 1

${{2}^{2n+2}}+{{2}^{m+2}}+1$ санының

m = n

$m=n$ болғанда ғана толық квадрат болатынын дәлелдеңдер.
комментарий/решение(2)

Есеп №3. Жазықтықта ешбір үшеуі бір түзудің бойында жатпайтын

2 n

$2n$ нүктеден тұратын

A

$A$ жиыны берілген. Кез келген әртүрлі екі

a, b \in A

$a,b\in A$ нүктесі үшін,

A

$A$ жиынын

n

$n$ нүктеден тұратын екі ішкі жиынға бөлетін және

a, b

$a,b$ әртүрлі екі жағында жататын түзу жүргізуге болатынын дәлелде.
комментарий/решение

Есеп №4. Кез келген оң нақты

, b, c

$,b,c$ сандары үшін

\frac{c}{a + 2 b} + \frac{a}{b + 2 c} + \frac{b}{c + 2 a} \geq 1

$\dfrac{c}{a+2b}+\dfrac{a}{b+2c}+\dfrac{b}{c+2a}\ge 1$ теңсіздігін дәлелде.
комментарий/решение(7)

Есеп №5.

A B C

$ABC$ үшбұрышына іштей сызылған шеңбер

A B

$AB$ қабырғасын

D

$D$ нүктесінде жанайды, ал

M

$M$ — осы қабырғаның ортасы.

M

$M$ нүктесі, іштей сызылған шеңбер центрі және

C D

$CD$ кесіндісінің ортасы бір түзудің бойында жататынын дәлелдеңдер.
комментарий/решение(3)

Есеп №6. 2005-тен аспайтын мынандай барлық

p, q

$p,q$ жай сандарын табыңдар:

p^{2} + 4

${{p}^{2}}+4$ саны

q

$q$ -ға бөлінеді, ал

q^{2} + 4

${{q}^{2}}+4$ саны

p

$p$ -ға бөлінеді.
комментарий/решение(4)

результаты