1-я Международная Жаутыковская олимпиада, 2005 год, младшая лига

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Задача №1.  В прямоугольной таблице $9\times 9$ отмечены 40 клеток. Горизонтальный или вертикальный ряд из 9 клеток называется хорошим , если в нем отмеченных клеток больше, чем не отмеченных. Какое наибольшее суммарное количество хороших (горизонтальных и вертикальных) рядов может иметь данная таблица?
комментарий/решение(2)

---

Задача №2.  Даны целые числа $m$, $n$ такие, что $0\leq m\leq 2n$. Докажите, что число $2^{2n+2}+2^{m+2}+1$ является полным квадратом тогда и только тогда, когда $m=n$.
комментарий/решение(2)

---

Задача №3.  На плоскости дано множество $A$ из $2n$ точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Докажите, что для любых двух различных точек $a, b\in A$ существует прямая, разбивающая $A$ на два подмножества по $n$ элементов и такая, что $a$ и $b$ лежат по разные стороны от этой прямой.
комментарий/решение

---

Задача №4.  Для любых положительных действительных чисел $a$, $b$, $c$ докажите неравенство $\dfrac{c}{{a + 2b}} + \dfrac{a}{{b + 2c}} + \dfrac{b}{{c + 2a}} \geq 1.$
комментарий/решение(6)

---

Задача №5.  Вписанная окружность треугольника $ABC$ касается стороны $AB$ в точке $D$, а точка $M$ — середина этой стороны. Докажите, что точка $M$, центр вписанной окружности и середина отрезка $CD$ лежат на одной прямой.
комментарий/решение(3)

---

Задача №6.  Найдите все простые числа $p$, $q$, не превосходящие $2005$ и такие, что $p^2+4$ делится на $q$, а $q^2+4$ делится на $p$.
комментарий/решение(4)

---