1-я Международная Жаутыковская олимпиада, 2005 год, младшая лига

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Задача №1. В прямоугольной таблице

$9\times 9$ отмечены 40 клеток. Горизонтальный или вертикальный ряд из 9 клеток называется хорошим , если в нем отмеченных клеток больше, чем не отмеченных. Какое наибольшее суммарное количество хороших (горизонтальных и вертикальных) рядов может иметь данная таблица?
комментарий/решение(2)

Задача №2. Даны целые числа

$m$ ,

$n$ такие, что

$0\leq m\leq 2n$ . Докажите, что число

$2^{2n+2}+2^{m+2}+1$ является полным квадратом тогда и только тогда, когда

$m=n$ .
комментарий/решение(2)

Задача №3. На плоскости дано множество

$A$ из

$2n$ точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Докажите, что для любых двух различных точек

$a, b\in A$ существует прямая, разбивающая

$A$ на два подмножества по

$n$ элементов и такая, что

$a$ и

$b$ лежат по разные стороны от этой прямой.
комментарий/решение

Задача №4. Для любых положительных действительных чисел

$a$ ,

$b$ ,

$c$ докажите неравенство

$\dfrac{c}{{a + 2b}} + \dfrac{a}{{b + 2c}} + \dfrac{b}{{c + 2a}} \geq 1.$
комментарий/решение(7)

Задача №5. Вписанная окружность треугольника

$ABC$ касается стороны

$AB$ в точке

$D$ , а точка

$M$ — середина этой стороны. Докажите, что точка

$M$ , центр вписанной окружности и середина отрезка

$CD$ лежат на одной прямой.
комментарий/решение(3)

Задача №6. Найдите все простые числа

$p$ ,

$q$ , не превосходящие

$2005$ и такие, что

$p^2+4$ делится на

$q$ , а

$q^2+4$ делится на

$p$ .
комментарий/решение(4)

результаты