қазақша
русский10-шы халықаралық Жәутіков олимпиадасы, 2014 жыл
Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Есеп №1. $ABC$ үшбұрышының $BC$, $CA$ және $AB$ қабырғаларынан сәйкесінше $M$, $N$, $K$ нүктелері алынған (үшбұрыштың төбелерінен басқа). Егер $\angle BAC=\angle KMN$ және $\angle ABC=\angle KNM$ болса, онда $MNK$ үшбұрышын әдемі деп атаймыз. Егер $ABC$ үшбұрышында ортақ төбесі бар екі әдемі үшбұрышы табылатын болса, онда $ABC$ тікбұрышты екенін дәлелдеңдер.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №2. Келесі шарттарды қанағаттандыратын
(i) кез келген $y$ нақты саны үшін $f(x)=y$ болатын нақты $x$ саны табылады және
(ii) барлық нақты $x$ үшін $f(f(x))=(x-1)f(x)+2$ болатын
$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ функциясы табылады ма?
комментарий/решение(1)
(i) кез келген $y$ нақты саны үшін $f(x)=y$ болатын нақты $x$ саны табылады және
(ii) барлық нақты $x$ үшін $f(f(x))=(x-1)f(x)+2$ болатын
$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ функциясы табылады ма?
комментарий/решение(1)
Есеп №3. Жүз әртүрлі натурал сандар берілген. Егер екі сан бір бірінен 2 немесе 3 есеге айырмашалығы болса, онда осы жұпты жақсы деп атаймыз. Осы жүз саннан ең көп дегенде қанша жақсы жұп шығуы мүмкін? (Бір сан бірнеше жұптарға кіруі мүмкін.)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №4. $P\left( {1 + \sqrt 3 } \right) = 2 + \sqrt 3$ және $P\left( {3 + \sqrt 5 } \right) = 3 + \sqrt 5 $ болатын барлық коэффициенттері бүтін болатын $P(x)$ көпмүшелігі табылады ма?
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №5. $U =\{1, 2, \ldots, 2014\}$ болсын. $a$, $b$ және $c$ натурал сандары үшін келесі шарттарды қанағаттандыратын
(i) ${Y_1} \subseteq {X_1} \subseteq U$ және $|X_1|=a$;
(ii) ${Y_2} \subseteq {X_2} \subseteq U \setminus Y_1$ және $|X_2|=b$;
(iii) ${Y_3} \subseteq {X_3} \subseteq U \setminus (Y_1 \cup Y_2)$ және $|X_3| = c$
$\left( {{X_1},{X_2},{X_3},{Y_1},{Y_2},{Y_3}} \right)$ жиындарының барлық реттелген топтардың санын $f(a,b,c)$ деп белгілейік. $f(a,b,c)$ мәні $a$, $b$ және $c$ сандарын кез келген ауыстыруында өзгермейтінін дәлелдеңдер. (Мұндағы $|A|$ ол $A$ жиынның элементтер саны.)
комментарий/решение
(i) ${Y_1} \subseteq {X_1} \subseteq U$ және $|X_1|=a$;
(ii) ${Y_2} \subseteq {X_2} \subseteq U \setminus Y_1$ және $|X_2|=b$;
(iii) ${Y_3} \subseteq {X_3} \subseteq U \setminus (Y_1 \cup Y_2)$ және $|X_3| = c$
$\left( {{X_1},{X_2},{X_3},{Y_1},{Y_2},{Y_3}} \right)$ жиындарының барлық реттелген топтардың санын $f(a,b,c)$ деп белгілейік. $f(a,b,c)$ мәні $a$, $b$ және $c$ сандарын кез келген ауыстыруында өзгермейтінін дәлелдеңдер. (Мұндағы $|A|$ ол $A$ жиынның элементтер саны.)
комментарий/решение
Есеп №6. Дөңес төртбұрыш төрт кесінділерімен тоғыз төртбұрышқа бөлінген. Осы кесінділердің қиылысу нүктелері алғашқы төртбұрыштың диагоналдарында орналасқан (суретті қара). 1, 2, 3, 4-ші төртбүрыштарға іштей шеңберлер сызуға болады. 5-ші төртбұрышқа да іштей шеңбер сызуға болатынын дәлелдеңдер.
комментарий/решение
комментарий/решение