10-шы халықаралық Жәутіков олимпиадасы, 2014 жыл

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Есеп №1.

$ABC$ үшбұрышының

$BC$ ,

$CA$ және

$AB$ қабырғаларынан сәйкесінше

$M$ ,

$N$ ,

$K$ нүктелері алынған (үшбұрыштың төбелерінен басқа). Егер

$\angle BAC=\angle KMN$ және

$\angle ABC=\angle KNM$ болса, онда

$MNK$ үшбұрышын әдемі деп атаймыз. Егер

$ABC$ үшбұрышында ортақ төбесі бар екі әдемі үшбұрышы табылатын болса, онда

$ABC$ тікбұрышты екенін дәлелдеңдер.
комментарий/решение(1)

Есеп №2. Келесі шарттарды қанағаттандыратын
(i) кез келген

$y$ нақты саны үшін

$f(x)=y$ болатын нақты

$x$ саны табылады және
(ii) барлық нақты

$x$ үшін

$f(f(x))=(x-1)f(x)+2$ болатын

$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ функциясы табылады ма?
комментарий/решение(1)

Есеп №3. Жүз әртүрлі натурал сандар берілген. Егер екі сан бір бірінен 2 немесе 3 есеге айырмашалығы болса, онда осы жұпты жақсы деп атаймыз. Осы жүз саннан ең көп дегенде қанша жақсы жұп шығуы мүмкін? (Бір сан бірнеше жұптарға кіруі мүмкін.)
комментарий/решение(1)

Есеп №4.

$P\left( {1 + \sqrt 3 } \right) = 2 + \sqrt 3$ және

$P\left( {3 + \sqrt 5 } \right) = 3 + \sqrt 5$ болатын барлық коэффициенттері бүтін болатын

$P(x)$ көпмүшелігі табылады ма?
комментарий/решение(2)

Есеп №5.

$U =\{1, 2, \ldots, 2014\}$ болсын.

$a$ ,

$b$ және

$c$ натурал сандары үшін келесі шарттарды қанағаттандыратын
(i)

${Y_1} \subseteq {X_1} \subseteq U$ және

$|X_1|=a$ ;
(ii)

${Y_2} \subseteq {X_2} \subseteq U \setminus Y_1$ және

$|X_2|=b$ ;
(iii)

${Y_3} \subseteq {X_3} \subseteq U \setminus (Y_1 \cup Y_2)$ және

$|X_3| = c$

$\left( {{X_1},{X_2},{X_3},{Y_1},{Y_2},{Y_3}} \right)$ жиындарының барлық реттелген топтардың санын

$f(a,b,c)$ деп белгілейік.

$f(a,b,c)$ мәні

$a$ ,

$b$ және

$c$ сандарын кез келген ауыстыруында өзгермейтінін дәлелдеңдер. (Мұндағы

$|A|$ ол

$A$ жиынның элементтер саны.)
комментарий/решение

Есеп №6. Дөңес төртбұрыш төрт кесінділерімен тоғыз төртбұрышқа бөлінген. Осы кесінділердің қиылысу нүктелері алғашқы төртбұрыштың диагоналдарында орналасқан (суретті қара). 1, 2, 3, 4-ші төртбүрыштарға іштей шеңберлер сызуға болады. 5-ші төртбұрышқа да іштей шеңбер сызуға болатынын дәлелдеңдер.

комментарий/решение

результаты