Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

10-я Международная Жаутыковская олимпиада, 2014 год


Существует ли функция f:RR, удовлетворяющая следующим условиям: для каждого вещественного y существует вещественное x такое, что f(x)=y, и f(f(x))=(x1)f(x)+2 при всех вещественных x?
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  0
3 года 2 месяца назад #

Подставим 1, получим что f(f(1))=2. Подставим f(1), получим что f(2)=2f(1). Функция сюрьективна так что предположим что для какого то f(c)=0, находим что f(0)=2. Подставим 0, получим что f(2)=0,f(1)=0. Пусть для какого то c, f(c)=1, тогда c=1, f(1)=1. Теперь пусть для какого то c f(c)=1, тогда c=2, f(2)=1 , но f(2)=0, противоречие.