10-я Международная Жаутыковская олимпиада, 2014 год
Существует ли функция f:R→R, удовлетворяющая
следующим условиям: для каждого вещественного y существует вещественное
x такое, что f(x)=y, и f(f(x))=(x−1)f(x)+2 при всех вещественных x?
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Подставим 1, получим что f(f(1))=2. Подставим f(1), получим что f(2)=2f(1). Функция сюрьективна так что предположим что для какого то f(c)=0, находим что f(0)=2. Подставим 0, получим что f(2)=0,f(1)=0. Пусть для какого то c, f(c)=1, тогда c=−1, f(−1)=1. Теперь пусть для какого то c f(c)=−1, тогда c=2, f(2)=1 , но f(2)=0, противоречие.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.