10-я Международная Жаутыковская олимпиада, 2014 год

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Задача №1. На сторонах

$BC$ ,

$CA$ и

$AB$ треугольника

$ABC$ лежат точки

$M$ ,

$N$ ,

$K$ соответственно, не совпадающие с вершинами. Треугольник

$MNK$ назовём красивым, если

$\angle BAC=\angle KMN$ и

$\angle ABC=\angle KNM$ . Докажите, что если в треугольнике

$ABC$ существуют два красивых треугольника с общей вершиной, то треугольник

$ABC$ — прямоугольный.
комментарий/решение(1)

Задача №2. Существует ли функция

$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , удовлетворяющая следующим условиям: для каждого вещественного

$y$ существует вещественное

$x$ такое, что

$f(x)=y$ , и

$f(f(x))=(x-1)f(x)+2$ при всех вещественных

$x$ ?
комментарий/решение(1)

Задача №3. Даны сто различных натуральных чисел. Назовем пару чисел хорошей, если числа в ней отличаются в 2 или в 3 раза. Какое наибольшее число хороших пар могут образовывать эти сто чисел? (Одно и то же число может входить в несколько пар.)
комментарий/решение(1)

Задача №4. Существует ли многочлен

$P(x)$ с целыми коэффициентами такой, что

$P(1+\sqrt{3})= 2+\sqrt{3}$ и

$P(3+\sqrt{5})=3+ \sqrt{5} ?$
комментарий/решение(2)

Задача №5. Пусть

$U = \{1, 2, \dots, 2014\}$ . Для натуральных

$a,b,c$ обозначим через

$f(a,b,c)$ количество упорядоченных наборов множеств

$(X_1, X_2, X_3, Y_1, Y_2, Y_3)$ , удовлетворяющих следующим условиям:
i)

${Y_1} \subseteq {X_1} \subseteq U$ и

$|X_1| = a$ ;
ii)

${Y_2} \subseteq {X_2} \subseteq U\backslash {Y_1}$ и

$|X_2| = b$ ;
iii)

${Y_3} \subseteq {X_3} \subseteq U\backslash \left( {{Y_1} \cup {Y_2}} \right)$ и

$|X_3| =c$ .
Докажите, что

$f(a,b,c)$ не меняется при перестановке

$a$ ,

$b$ и

$c$ . (Здесь

$|A|$ обозначает количество элементов множества

$A$ .)
комментарий/решение

Задача №6. Выпуклый четырёхугольник поделен на девять четырехугольников четырьмя отрезками, точки пересечения которых лежат на диагоналях исходного четырехугольника (см. рисунок ниже). Известно, что в четырехугольники 1, 2, 3, 4 можно вписать окружности. Докажите, что в четырехугольник 5 также можно вписать окружность.

комментарий/решение

результаты