10-я Международная Жаутыковская олимпиада, 2014 год

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Задача №1.  На сторонах$BC$, $CA$ и $AB$ треугольника $ABC$ лежат точки $M$, $N$, $K$ соответственно, не совпадающие с вершинами. Треугольник $MNK$ назовём красивым, если $\angle BAC=\angle KMN$ и $\angle ABC=\angle KNM$. Докажите, что если в треугольнике $ABC$ существуют два красивых треугольника с общей вершиной, то треугольник $ABC$ — прямоугольный.
комментарий/решение(1)

---

Задача №2.  Существует ли функция $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, удовлетворяющая следующим условиям: для каждого вещественного $y$ существует вещественное $x$ такое, что $f(x)=y$, и $f(f(x))=(x-1)f(x)+2$ при всех вещественных $x$?
комментарий/решение(1)

---

Задача №3.  Даны сто различных натуральных чисел. Назовем пару чисел хорошей, если числа в ней отличаются в 2 или в 3 раза. Какое наибольшее число хороших пар могут образовывать эти сто чисел? (Одно и то же число может входить в несколько пар.)
комментарий/решение(1)

---

Задача №4.  Существует ли многочлен $P(x)$ с целыми коэффициентами такой, что $P(1+\sqrt{3})= 2+\sqrt{3}$ и $P(3+\sqrt{5})=3+ \sqrt{5} ?$
комментарий/решение(2)

---

Задача №5.  Пусть $U = \{1, 2, \dots, 2014\}$. Для натуральных $a,b,c$ обозначим через $f(a,b,c)$ количество упорядоченных наборов множеств $(X_1, X_2, X_3, Y_1, Y_2, Y_3)$, удовлетворяющих следующим условиям:
i) ${Y_1} \subseteq {X_1} \subseteq U$ и $|X_1| = a$;
ii) ${Y_2} \subseteq {X_2} \subseteq U\backslash {Y_1}$ и $|X_2| = b$;
iii) ${Y_3} \subseteq {X_3} \subseteq U\backslash \left( {{Y_1} \cup {Y_2}} \right)$ и $|X_3| =c$.
Докажите, что $f(a,b,c)$ не меняется при перестановке $a$, $b$ и $c$. (Здесь $|A|$ обозначает количество элементов множества $A$.)
комментарий/решение

---

Задача №6.  Выпуклый четырёхугольник поделен на девять четырехугольников четырьмя отрезками, точки пересечения которых лежат на диагоналях исходного четырехугольника (см. рисунок ниже). Известно, что в четырехугольники 1, 2, 3, 4 можно вписать окружности. Докажите, что в четырехугольник 5 также можно вписать окружность.

комментарий/решение

---