10-я Международная Жаутыковская олимпиада, 2014 год

Существует ли многочлен $P(x)$ с целыми коэффициентами такой, что $P(1+\sqrt{3})= 2+\sqrt{3}$ и $P(3+\sqrt{5})=3+ \sqrt{5} ?$

Комментарий/решение

1)Рассмотрим многочлен

$P(x)=ax^2+bx+c$

По условию

$$P(1+\sqrt{3})=a(1+\sqrt{3})^2+b(1+\sqrt{3})+c=2+\sqrt{3}$$

$$P(3+\sqrt{5}) = a(3+\sqrt{5})^2+b(3+\sqrt{5})+c=3+\sqrt{5}$$

Открывая скобки и приравнивая соответствующие коэффициенты, получаем

$4a+b+c=2, \ 2a+b=1, \ 14a+3b+c=3, \ 6a+b=1$ суммируя, $$2X=2(13a+3b+c)=7 \ \ (1)$$ .

2) Рассмотрим многочлен $P(x)=a_{1}x^n+a_{2}x^{n-1}+....ax^2+bx+c$ так как $$(1+\sqrt{3})^n=2(2 + \sqrt{3})(1+\sqrt{3})^{n-2}$$ $$(3+\sqrt{5})^n = 2(7+3 \sqrt{5})(3+\sqrt{5})^{n-2}$$

Суммируя и учитывая $(1)$ получается сумма всех коэффициентов четное число или

$$S=2(Y+X)=7$$ но $7$ не делится на $2$.

Ответ: не существует

$P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0$.

Из условия следует, что $2= a_n(\binom {n}{0}+\binom {n}{2}3+...)+a_{n-1}(\binom {n-1}{0}+...)+...$

Аналогично выписываем для $P(3+\sqrt{5}).$

$3= a_n(\binom {n}{0}3^n+\binom {n}{2}3^{n-2} \cdot 5+...)+a_{n-1}(\binom {n-1}{0}3^{n-1}+...)+...$

Несложно заметить, что на самом деле эти два выражения сравнимы по $mod$ $2$, противоречие