10-шы халықаралық Жәутіков олимпиадасы, 2014 жыл

Келесі шарттарды қанағаттандыратын
(i) кез келген $y$ нақты саны үшін $f(x)=y$ болатын нақты $x$ саны табылады және
(ii) барлық нақты $x$ үшін $f(f(x))=(x-1)f(x)+2$ болатын
$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ функциясы табылады ма?

Комментарий/решение

Подставим $1$, получим что $f(f(1))=2$. Подставим $f(1)$, получим что $f(2)=2f(1)$. Функция сюрьективна так что предположим что для какого то $f(c)=0$, находим что $f(0)=2$. Подставим $0$, получим что $f(2)=0, f(1)=0$. Пусть для какого то $c$, $f(c)=1$, тогда $c=-1$, $f(-1)=1$. Теперь пусть для какого то $c$ $f(c)=-1$, тогда $c=2$, $f(2)=1$ , но $f(2)=0$, противоречие.