6-шы халықаралық Жәутіков олимпиадасы, 2010 жыл

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Есеп №1.

${{p}^{3}}-{{q}^{7}}=p-q$ теңдеуін қанағаттандыратын барлық

$p$ және

$q$ жай сандарын тап.
комментарий/решение(3)

Есеп №2. Шеңберге іштей сызылған

$ABCD$ төртбұрышында

$AB=AD$ екені белгілі.

$BC$ және

$CD$ қабырғалаларынан

$MN=BM+DN$ болатындай етіп сәйкесінше

$M$ және

$N$ нүктелері алынған.

$AM$ және

$AN$ түзулері

$ABCD$ төртбұрышына сырттай сызылған шеңберді екінші рет сәйкесінше

$P$ және

$Q$ нүктелерінде қияды.

$APQ$ үшбұрышының биіктіктерінің қиылысу нүктесі

$MN$ кесіндісіне тиісті екенін дәлелде.
комментарий/решение(1)

Есеп №3. Торкөз қағаздың түзу сызықтарымен шектеліп алынған тіктөртбұрыш фигуралардың мынадай үш түріне бөлшектенген: табаны екі торкөздің қабырғасынан тұратын теңқабырғалы тік бұрышты үшбұрыштар -

, бір торкөзден тұратын шаршылар -

, торкөздердің екі қабырғасынан және екі диагоналдарымен шектелген параллелограмдар -

(көрсетілген фигуралар бұрылып, немесе төңкеріліп тұруы мүмкін). Бөлшектеуден пайда болған үшінші түрдегі фигуралардың саны жұп болатыны дәлелде.
комментарий/решение(2)

Есеп №4. Тақтаға

$1,2, \ldots,n$ натурал сандары жазылған,

$n > 2$ . Әр минутта тақтадан екі сан өшіріліп, орынына олардың қосындысының ең кіші жай бөлгіші жазылады. Ең соңында тақтада 97 саны қалды. Қандай ең кіші

$n$ үшін осылай болуы мүмкін?
комментарий/решение(1)

Есеп №5. Дұрыс

$n$ -бұрыштың әрбір төбесінде бір дойбы тасы орналасқан. Бір жүрісте кез келген көрші екі дойбы тасының орындарын ауыстыруға болады. Әрбір дойбы тасын бастапқыда тұрған төбесінен сағат тілімен

$\left[ \dfrac{n}{2} \right]$ позицияға жылжытып алынған орналастыруды алу үшін ең кемі қанша жүріс қажет?
комментарий/решение

Есеп №6. Сүйірбұрышты

$ABC$ үшбұрышының қабырғаларының ұзындықтары әртүрлі.

$O,I,H$ арқылы сәкесінше

$ABC$ үшбұрышының сырттай сызылған шеңберінің центрін, іштей сызылған шеңберінің центрін және биіктіктерінің қиылысу нүктелерін белгілейік. Дәлелдеңдер:
a)

$\angle OIH > {{90}^{\circ }}$ ;
b)

$\angle OIH > {{135}^{\circ }}$ .
комментарий/решение(2)

результаты