Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

6-я Международная Жаутыковская олимпиада, 2010 год


Все стороны треугольника ABC различны. Пусть O, I, H — соответственно центр описанной окружности, центр вписанной окружности и точка пересечения высот треугольника ABC. Докажите, что
a) OIH>90;
b) OIH>135.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  1
2 года 8 месяца назад #

Лемма 1 : если мы построим второй треугольник с точкой A,которая лежит на описанной окружности ,то значение BIC=BIC, где I центр вписанной окружностиABC (имеется ввиду что BIC=const при выборе точки A на описанной окружности) и дополнительное условие то что A лежит на BC которая содержит A

Доказательство: так как ABC и ABC смотрят на одну дугу BAC=BAC, дальше простой счет углов.

а) Так как нам нужно доказать что OIH>90 нам достаточно показать что BIC90, так как по нашей лемме BIC=const при любом A на описанной окружности, BIC зависит от точек B,C рассмотрим крайний случай, когда B и C совпадают, так как при этом раскладе BIC минимальный, тогда BC совпадет с высотой откуда ABH=BIC=90, получается что минимальное значение BIC=90, что доказывает первый пункт.

б) Кажется в этом пункте должно быть какое то дополнительное условие, так как найдется такое расположение A на окружности, что BIC<135, пример на рисунке.

  5
2 года 8 месяца назад #

Треугольник остроугольный