6-я Международная Жаутыковская олимпиада, 2010 год
a) ∠OIH>90∘;
b) ∠OIH>135∘.
Комментарий/решение:
Лемма 1 : если мы построим второй треугольник с точкой A′,которая лежит на описанной окружности ,то значение ∠BIC=∠BI′C, где I′ центр вписанной окружности△A′BC (имеется ввиду что ∠BIC=const при выборе точки A′ на описанной окружности) и дополнительное условие то что A′ лежит на ⌢BC которая содержит A
Доказательство: так как ∠ABC и ∠A′BC смотрят на одну дугу ∠BAC=∠BA′C, дальше простой счет углов.
а) Так как нам нужно доказать что ∠OIH>90∘ нам достаточно показать что ∠BIC≥90∘, так как по нашей лемме ∠BIC=const при любом A на описанной окружности, ∠BIC зависит от точек B,C рассмотрим крайний случай, когда B и C совпадают, так как при этом раскладе ∠BIC минимальный, тогда BC совпадет с высотой откуда ∠ABH=∠BIC=90∘, получается что минимальное значение ∠BIC=90∘, что доказывает первый пункт.
б) Кажется в этом пункте должно быть какое то дополнительное условие, так как найдется такое расположение A на окружности, что ∠BIC<135∘, пример на рисунке.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.