3-ші халықаралық Жәутіков олимпиадасы, 2007 жыл

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Есеп №1. Бізге 111 түйме берілген. Осы түймелерді өлшемі

$n\times n$ болатын тақтаның шаршыларына ортақ қабырғалы көрші шаршылардағы түймелер санының айырмасы дәл 1-ге тең болатындай етіп салу керек (шаршыда бірнеше түйме болуы немесе ол бос болуы әбден мүмкін). Қандай максимал

$n$ үшін осы шараны іске асыруға болады?
комментарий/решение(2)

Есеп №2. Дөңес

$ABCD$ төртбұрышының ішінен

$\angle MBC=\angle MDC$ ,

$\angle MBA=\angle MCD$ болатындай етіп

$M$ нүктесі алынған. Егер

$\angle BAC=\angle DAC$ екені белгілі болса, онда

$\angle ADC$ бұрышының

$\angle BMC$ немесе

$\angle AMB$ бұрыштарының біреуіне тең болатынын дәлелде.
комментарий/решение(4)

Есеп №3.

${{2}^{n}}+{{3}^{n}}$ саны

${{n}^{2}}$ санына бөлінетіндей ақырсыз көп наутрал

$n$ саны табылатынын дәлелдеңдер.
комментарий/решение(2)

Есеп №4. Кез келген

$x,y$ нақты сандары үшін

$f(x+f(y))=f(x)+\sin y$ теңдігін қанағаттандыратын

$f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ функциясы (мұндағы

$\mathbb{R}$ — нақты сандар жиыны) бар ма?
комментарий/решение(1)

Есеп №5. Барлық оң нақты сандардың жиыны өзара қиылыспайтын, бос емес үш жиынға бөлінген.
a) Бір үшбұрыштың қабырғаларының ұзындықтары болатындай 3 сан (әр жиыннан бір-бірден) таңдап алуға болатынын дәлелдеңдер.
b) Әрқашан бір тікбұрышты үшбұрыштың қабырғаларының ұзындықтары болатындай 3 сан (әр жиыннан бір-бірден) таңдап алуға бола ма?
комментарий/решение

Есеп №6. Дөңес

$ABCDEF$ алтыбұрыштың

$AD$ ,

$BE$ және

$CF$ диагоналдары бір

$M$ нүктесінде қиылысады. Оған қоса,

$ABM$ ,

$BCM$ ,

$CDM$ ,

$DEM$ ,

$EFM$ және

$FAM$ үшбұрыштарының сүйірбұрышты үшбұрыштар екендігі, ал олардың сырттай сызылған шеңберлерінің центрлері бір шеңбердің бойында жататыны белгілі. Онда

$ABDE$ ,

$BCEF$ және

$CDFA$ төртбұрыштарының аудандары тең екенін дәлелдеңдер.
комментарий/решение(1)

результаты