Processing math: 100%

3-я Международная Жаутыковская олимпиада, 2007 год


Внутри выпуклого четырехугольника ABCD отмечена точка M так, что MBC=MDC, MBA=MCD. Докажите, что угол ADC равен одному из углов BMC или AMB, если известно, что BAC=DAC.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  6
1 года 5 месяца назад #

с помощью синусов доказываем

MBC=a;MBA=b;MAC=y;DAM=x

sinBMCsinADC=sin(a)DCBCsin(x+y)ACMC

sin(b)DCBCsin(x+y)ACMD

sin(b)DCsin(x+y)sin(x+y)sin(a+b)MD и потом через теорему синусов доказываем что sinBMCsinADC=1 аналогично доказываем что sinBMAsinADC=1 и теперь осталось просто доказать что BMCBMA

  7
1 года 3 месяца назад #

Я вижу, что никто не пробовал, поэтому опубликую свое решение.

Обозначим MBC=MDC=α, MCD=MBA=β и BAC=CAD=t .

Таким образом, MCsinα=BCsinBMC и MCsinα=CDsin(α+β) по закону греха в MBC и MCD.

Итак, BCCD=sinBMCsin(α+β). (1)

Теперь из закона греха в ABC и ADC мы имеем следующее:

BCsint=ACsin(α+β) и CDsint=ACsinADC

Итак, BCCD=sinADCsin(α+β). (2)

По (1) и (2) мы имеем, что sinADC=sinBMC, поэтому ADC=BMC или \angle{ADC} } = 180 - \angle{BMC} и т. д.

  2
7 месяца 11 дней назад #

"по закону греха"...

  0
7 месяца 9 дней назад #

Лол