3-я Международная Жаутыковская олимпиада, 2007 год

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Задача №1. Имеется 111 монет. Требуется разложить эти монеты по клеткам квадратной доски

$n\times n$ так, чтобы количества монет в любых двух соседних по стороне клетках отличались ровно на 1 (в клетках может быть по нескольку монет или не быть их вообще). При каком максимальном

$n$ это возможно?
комментарий/решение(2)

Задача №2. Внутри выпуклого четырехугольника

$ABCD$ отмечена точка

$M$ так, что

$\angle MBC=\angle MDC$ ,

$\angle MBA=\angle MCD$ . Докажите, что угол

$\angle ADC$ равен одному из углов

$\angle BMC$ или

$\angle AMB$ , если известно, что

$\angle BAC=\angle DAC$ .
комментарий/решение(4)

Задача №3. Докажите, что существует бесконечно много натуральных чисел

$n$ , для которых число

$2^n+3^n$ делится на

$n^2$ .
комментарий/решение(2)

Задача №4. Существует ли функция

$f: \Bbb R \to \Bbb R$ , где

$\Bbb R$ — множество действительных чисел, такая, что для любых действительных чисел

$x$ ,

$y$ выполняется равенство:

$f(x+f(y))=f(x)+\sin y ?$
комментарий/решение(1)

Задача №5. Множество всех положительных действительных чисел разбито на 3 непустых попарно непересекающихся множества.
a) Докажите, что можно выбрать 3 числа, по одному из каждого множества, которые служат длинами сторон некоторого треугольника.
b) Всегда ли можно выбрать числа (по одному из каждого множества) так, чтобы они являлись длинами сторон прямоугольного треугольника?
комментарий/решение

Задача №6. Про выпуклый шестиугольник

$ABCDEF$ известно, что диагонали

$AD$ ,

$BE$ и

$CF$ пересекаются в одной точке

$M$ . Кроме того, треугольники

$ABM$ ,

$BCM$ ,

$CDM$ ,

$DEM$ ,

$EFM$ и

$FAM$ — остроугольные, а центры описанных окружностей этих треугольников лежат на одной окружности. Докажите, что четырехугольники

$ABDE$ ,

$BCEF$ и

$CDFA$ имеют равные площади.
комментарий/решение(1)

результаты