Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

3-ші халықаралық Жәутіков олимпиадасы, 2007 жыл


Кез келген x,y нақты сандары үшін f(x+f(y))=f(x)+siny теңдігін қанағаттандыратын f:RR функциясы (мұндағы R — нақты сандар жиыны) бар ма?
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  0
4 года 7 месяца назад #

Ответ: Нет

Пусть P(x;y) означает данное равенство.

P(0;y) f(f(y))=C+siny (1)

P(y;0) f(y+C)=f(y) (2)

P(siny;0) f(siny+C)=f(siny) (3)

Возьмем f от обеих частей (1): f(f(f(y)))=f(siny+C) (4)

Приравнивая (3) и (4)получим: f(f(f(y)))=f(siny) (5)

P(0;f(y)) f(f(f(y)))=C+sinf(y) (6)

Приравнивая (5) и (6)получим: f(siny)=C+sinf(y) (7)

P(f(x);f(y)) f(f(x)+f(f(y)))=f(f(x))+sinf(y) (8)

Применим (1) к (8): f(f(x)+siny+C)=sinx+C+sinf(y) (9)

А теперь (2) к (9): f(f(x)+siny)=sinx+C+sinf(y) (10)

Возьмем f от обеих частей P(x;y): f(f(x+f(y)))=f(f(x)+siny)

По свойству (1) получаем: f(f(x+f(y)))=C+sin(x+f(y)) (11)

Приравниваем (10) и (11): C+sin(x+f(y))=sinx+C+sinf(y)

sin(x+f(y))=sinx+sinf(y)

xπ

sin(π+f(y))=sinπ+sinf(y)

sinf(y)=0+sinf(y)

sinf(y)=0

f(y)=πk ,kZ

P(x;π2)

πk=πn+1,это невозможно так как k,nZ #