3-ші халықаралық Жәутіков олимпиадасы, 2007 жыл
Комментарий/решение:
Ответ: Нет
Пусть P(x;y) означает данное равенство.
P(0;y) f(f(y))=C+siny (1)
P(y;0) f(y+C)=f(y) (2)
P(siny;0) f(siny+C)=f(siny) (3)
Возьмем f от обеих частей (1): f(f(f(y)))=f(siny+C) (4)
Приравнивая (3) и (4)получим: f(f(f(y)))=f(siny) (5)
P(0;f(y)) f(f(f(y)))=C+sinf(y) (6)
Приравнивая (5) и (6)получим: f(siny)=C+sinf(y) (7)
P(f(x);f(y)) f(f(x)+f(f(y)))=f(f(x))+sinf(y) (8)
Применим (1) к (8): f(f(x)+siny+C)=sinx+C+sinf(y) (9)
А теперь (2) к (9): f(f(x)+siny)=sinx+C+sinf(y) (10)
Возьмем f от обеих частей P(x;y): f(f(x+f(y)))=f(f(x)+siny)
По свойству (1) получаем: f(f(x+f(y)))=C+sin(x+f(y)) (11)
Приравниваем (10) и (11): C+sin(x+f(y))=sinx+C+sinf(y) ⇒
sin(x+f(y))=sinx+sinf(y)
x⇒π
sin(π+f(y))=sinπ+sinf(y)
−sinf(y)=0+sinf(y)
sinf(y)=0
f(y)=π⋅k ,k∈Z
P(x;π2)
π⋅k=π⋅n+1,это невозможно так как k,n∈Z #
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.