Районная олимпиада, 2005-2006 учебный год, 8 класс

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Задача №1. Запишите в каждую клетку таблицы

$6\times 6$ целые числа так, чтобы сумма чисел в каждом прямоугольнике

$1\times 4$ и

$4\times 1$ была четной, но чтобы сумма всех чисел была нечетной.
комментарий/решение(1)

Задача №2. Точки

$L$ и

$M$ — середины сторон

$AB$ и

$BC$ , соответственно, прямоугольника

$ABCD$ и

$P$ — точка пересечения отрезков

$CL$ и

$AM$ . Найдите угол

$LDM$ , если известно, что

$\angle MPC =30^\circ$ .
комментарий/решение(2)

Задача №3. Что больше

$79^{26}$ или

$244^{21}$ , и почему?
комментарий/решение(1)

Задача №4. Существуют ли натуральные числа такие, что

$(a+b)(b+c)(a+c)=4242$ ?
комментарий/решение(1)

Задача №5. На сторонах

$AC$ и

$BC$ остроугольного треугольника

$ABC$ выбраны соответственно точки

$D$ и

$E$ так, что

$AD:DC=3:4$ и

$BE:EC=2:3$ . Найдите

$\frac{AF\cdot BF}{FE\cdot FD}$ , где

$F$ — точка пересечения

$AE$ и

$BD$ .
комментарий/решение(4)

Задача №6. В 99 ящиках лежат яблоки и апельсины. Докажите, что можно так выбрать 50 ящиков, что в них окажется не менее половины всех яблок и не менее половины всех апельсинов.
комментарий/решение(1)