Математикадан аудандық олимпиада, 2004-2005 оқу жылы, 11 сынып

Есеп №1. Қай сан үлкен:

$\sin (\cos x)$ пе, әлде

$\cos (\sin x)$ пе?
комментарий/решение(1)

Есеп №2.

$AXD$ ,

$BXY$ және

$DYC$ үшбұрыштарының аудандары сәйкесінше 5, 4 және 3 болатындай етіп

$ABCD$ тіктөртбұрышының

$AB$ және

$BC$ қабырғаларынан сәйкес

$X$ және

$Y$ нүктелері таңдап алынған.

$DXY$ үшбұрышының ауданын табыңдар.
комментарий/решение(1)

Есеп №3. Берілген кез келген 15 натурал санның ішінен қосындысы 8-ге бөлінетін 8 сан табуға болатынын дәлелдеңдер.
комментарий/решение

Есеп №4. Егер

$x=\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}+1$ болса,

${{\left( 1+\dfrac{1}{x} \right)}^{3}}$ өрнегінің мәнін табыңдар.
комментарий/решение(1)

Есеп №5. Әрбір дөңес

$2n$ -бұрыштың ешбір қабырғасына параллель емес диагоналы табылатынын дәлелдеңдер.
комментарий/решение

Есеп №6. Кез келген

$m,n > 1$ натурал сандары үшін теңсіздікті дәлелдеңдер:

$\dfrac{1}{\sqrt[m]{1+n}}+\dfrac{1}{\sqrt[n]{1+m}} > 1.$
комментарий/решение(1)