Математикадан аудандық олимпиада, 2004-2005 оқу жылы, 11 сынып

Қай сан үлкен: $\sin (\cos x)$ пе, әлде $\cos (\sin x)$ пе?

Комментарий/решение

$f(x)=sin(cosx)-cos(sinx)$ функциясын қарастырайық.

$cos\alpha =sin(\frac{\pi }{2}-\alpha), sin\alpha -sin\beta=2cos(\frac{\alpha -\beta}{2})\cdot sin(\frac{\alpha -\beta}{2}).$

$f(x)=sin(cosx)-sin(\frac{\pi }{2}-sinx)=2cos(\frac{cosx+\frac{\pi }{2}-sinx}{2})\cdot sin(\frac{cosx-\frac{\pi }{2}+sinx}{2})$ немесе $f(x)=-2cos(\frac{\pi-2(sinx-cosx) }{4})\cdot sin(\frac{\pi-2(sinx+cosx) }{4}).$

$-\sqrt{a^2+b^2}\leq asinx+bcosx\leq \sqrt{a^2+b^2}$ теңсіздігін қолдансақ: $-\sqrt{2}\leq sinx\pm cosx\leq \sqrt{2} .$

Сонда: $0<\frac{\pi -2\sqrt{2}}{4}\leq \frac{\pi -2(sinx\pm cosx)}{4}\leq \frac{\pi +2\sqrt{2}}{4}< \frac{\pi }{2}.$

$0<\frac{\pi -2(sinx\pm cosx)}{4}<\frac{\pi }{2}.$ Онда $cos(\frac{\pi -2(sinx-cosx)}{4})>0$ және $sin(\frac{\pi -2(sinx+cosx)}{4})>0.$ Сондықтан $f(x)<0.$. Онда $sin(cosx)<cos(sinx)$ болады.