Районная олимпиада, 2004-2005 учебный год, 11 класс

Задача №1. Какое число больше:

$\sin (\cos x)$ или

$\cos(\sin x)$ ?
комментарий/решение(1)

Задача №2. На сторонах

$AB$ и

$BC$ прямоугольника

$ABCD$ выбраны соответственно точки

$X$ и

$Y$ так, что площади треугольников

$AXD$ ,

$BXY$ и

$DYC$ соответственно равны 5, 4 и 3. Найдите площадь треугольника

$DXY$ .
комментарий/решение(1)

Задача №3. Докажите, что из совокупности любых 15 натуральных чисел можно найти 8 чисел, сумма которых делится на 8.
комментарий/решение

Задача №4. Найдите значение выражения

$\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)^3$ для

$x = \root 3 \of 4 + \root 3 \of 2 + 1$ .
комментарий/решение(1)

Задача №5. Докажите, что в любом выпуклом

$2n$ -угольнике найдется диагональ, не параллельная ни одной из сторон.
комментарий/решение

Задача №6. Для любых натуральных чисел

$m, n >1$ докажите неравенство

$\frac{1} {{\root m \of {1 + n} }} + \frac{1} {{\root n \of {1 + m} }} > 1.$
комментарий/решение(1)