Районная олимпиада, 2004-2005 учебный год, 11 класс


Задача №1.  Какое число больше: $\sin (\cos x)$ или $\cos(\sin x)$?
комментарий/решение(1)
Задача №2.  На сторонах $AB$ и $BC$ прямоугольника $ABCD$ выбраны соответственно точки $X$ и $Y$ так, что площади треугольников $AXD$, $BXY$ и $DYC$ соответственно равны 5, 4 и 3. Найдите площадь треугольника $DXY$.
комментарий/решение(1)
Задача №3.  Докажите, что из совокупности любых 15 натуральных чисел можно найти 8 чисел, сумма которых делится на 8.
комментарий/решение
Задача №4.  Найдите значение выражения $\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)^3$ для $x = \root 3 \of 4 + \root 3 \of 2 + 1$.
комментарий/решение(1)
Задача №5.  Докажите, что в любом выпуклом $2n$-угольнике найдется диагональ, не параллельная ни одной из сторон.
комментарий/решение
Задача №6.  Для любых натуральных чисел $m, n >1$ докажите неравенство $$ \frac{1} {{\root m \of {1 + n} }} + \frac{1} {{\root n \of {1 + m} }} > 1. $$
комментарий/решение(1)