қазақша
русскийРайонная олимпиада, 2004-2005 учебный год, 11 класс
Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Задача №2. На сторонах $AB$ и $BC$ прямоугольника $ABCD$ выбраны соответственно точки $X$ и $Y$ так, что площади треугольников $AXD$, $BXY$ и $DYC$ соответственно равны 5, 4 и 3. Найдите площадь треугольника $DXY$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. Докажите, что из совокупности любых 15 натуральных чисел можно найти 8 чисел, сумма которых делится на 8.
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №4. Найдите значение выражения $\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)^3$ для $x = \root 3 \of 4 + \root 3 \of 2 + 1$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №5. Докажите, что в любом выпуклом $2n$-угольнике найдется диагональ, не параллельная ни одной из сторон.
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №6. Для любых натуральных чисел $m, n >1$ докажите неравенство $$
\frac{1}
{{\root m \of {1 + n} }} + \frac{1}
{{\root n \of {1 + m} }} > 1.
$$
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)