Математикадан аудандық олимпиада, 2004-2005 оқу жылы, 11 сынып

Кез келген $m,n > 1$ натурал сандары үшін теңсіздікті дәлелдеңдер: $\dfrac{1}{\sqrt[m]{1+n}}+\dfrac{1}{\sqrt[n]{1+m}} > 1.$

Комментарий/решение

По неравенству Коши, имеем: $\sqrt[m]{(1+n)\cdot1\cdot1\cdots\cdot1} < \dfrac{(1+n)+m-1}{m} = \dfrac{m+n}{m}.$ Аналогично: $\sqrt[n]{1+m} < \dfrac{m+n}{n}$. Тогда левая часть уравнения будет больше чем $\dfrac{n}{m+n}+\dfrac{m}{n+m}=1.$ Ч.Т.Д.