Районная олимпиада, 2004-2005 учебный год, 11 класс
Для любых натуральных чисел $m, n >1$ докажите неравенство $$
\frac{1}
{{\root m \of {1 + n} }} + \frac{1}
{{\root n \of {1 + m} }} > 1.
$$
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
По неравенству Коши, имеем: $ \sqrt[m]{(1+n)\cdot1\cdot1\cdots\cdot1} < \dfrac{(1+n)+m-1}{m} = \dfrac{m+n}{m}.$ Аналогично: $\sqrt[n]{1+m} < \dfrac{m+n}{n}$. Тогда левая часть уравнения будет больше чем $\dfrac{n}{m+n}+\dfrac{m}{n+m}=1.$ Ч.Т.Д.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.