Районная олимпиада, 2004-2005 учебный год, 11 класс

Для любых натуральных чисел $m, n >1$ докажите неравенство $$\frac{1} {{\root m \of {1 + n} }} + \frac{1} {{\root n \of {1 + m} }} > 1.$$

Комментарий/решение

По неравенству Коши, имеем: $\sqrt[m]{(1+n)\cdot1\cdot1\cdots\cdot1} < \dfrac{(1+n)+m-1}{m} = \dfrac{m+n}{m}.$ Аналогично: $\sqrt[n]{1+m} < \dfrac{m+n}{n}$. Тогда левая часть уравнения будет больше чем $\dfrac{n}{m+n}+\dfrac{m}{n+m}=1.$ Ч.Т.Д.