Математикадан Эйлер олимпиадасы, 2014-2015 оқу жылы, Дистанциялық кезеңнің 1-ші туры

Есеп №1. Алымы да, бөлімі де 1-ден өзгеше бүтін сан болатын, қосындысы бүтін болатын, және сол бөлшектерге кері болатын бөлшектердің де қосындысы бүтін болатын үш бөлшекті тап.
комментарий/решение(1)

Есеп №2. Даша 1-ден 25-ке дейінгі натурал сандар ішінен, кез келген екеуінің айырмасы 4-ке бөлінетіндей алты сан таңдап алды. Даша таңдаған сандардың ішінде ең көп дегенде қаншауы жай болуы мүмкін?
комментарий/решение(3)

Есеп №3.

$ABC$ үшбұрышында

$BM$ медианасы жүргізілген.

$\angle ABM=40 ^\circ$ , ал

$\angle CBM=70 ^\circ$ екені белгілі.

$AB : BM$ қатынасын табыңдар.
комментарий/решение(2)

Есеп №4. Теріс емес әр түрлі

$a$ ,

$b$ ,

$c$ сандары

$a^2+b^2=c^2+ab$ шартын қанағаттандырады.

$c^2+ab < ac+bc$ екенін дәлелдеңдер.
комментарий/решение(4)

Есеп №5.

$n \times n$ квадраттың шаршылары келесі шарт орындалатындай қара және ақ түстерге боялған: екі баған мен екі жолдың қиылысуынан пайда болған төрт шаршылардың ешқайсысы барлығы бір түсті бола алмайды.

$n$ -нің ең үлкен мүмкін мәні қандай?
комментарий/решение(1)