Олимпиада имени Леонарда Эйлера2014-2015 учебный год, I тур дистанционного этапа

В треугольнике $ABC$ проведена медиана $BM$. Известно, что$\angle ABM = 40^\circ$, а $\angle CBM = 70^\circ$. Найдите отношение $AB : BM$.

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Достроим треугольник $ABC$ до параллелограмма $ABCD$. Так как диагонали параллелограмма, пересекаясь, делятся пополам, точка $M$ является точкой их пересечения и $BD = 2BM$. С другой стороны, $\angle BDA = \angle CBD = 70^\circ$, а $\angle BAD = 180^\circ -\angle BDA-\angle ABD = 70^\circ = \angle BDA$, откуда $AB = BD = 2BM$ и $AB:BM = 2BM:BM = 2$.

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №2.     Заметим, что $BC$ — биссектриса внешнего угла при вершине $B$ треугольника $ABM$. Поэтому $AB:BM = AC:CM = 2$.