Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Олимпиада имени Леонарда Эйлера
2014-2015 учебный год, I тур дистанционного этапа


Различные неотрицательные числа a,b,c таковы, что a2+b2=c2+ab. Докажите, что c2+ab<ac+bc.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Не умаляя общности, положим a<b. Тогда c2+ab<ac+bc(cb)(ca)<0a<c<b. Докажем последнее неравенство от противного. Допустим, ca. Тогда c2+aba2+ab<a2+b2 — противоречие. Допустим, cb. Тогда c2+abb2+ab>b2+a2 — снова противоречие.

пред. Правка 2   7
2 года 4 месяца назад #

ac+bc>ab+c2=a2+b2

c=a2+b2ab

(a+b)2×a2+b2ab>a2+b2

(a3+b3)(a+b)>a2+b2

(a3+b3)(a+b)>(a2+b2)2

a3b+b3a>2a2b2

А это верно по A.M>G.M, и будет знак строго больше, так как равенство достигается когда числа равны, а по условию они у нас различны

пред. Правка 2   4
2 года 4 месяца назад #

  0
1 месяца 21 дней назад #

Хорошее решение +1 вклад