Олимпиада имени Леонарда Эйлера
2014-2015 учебный год, I тур дистанционного этапа
Различные неотрицательные числа a,b,c таковы, что a2+b2=c2+ab. Докажите, что c2+ab<ac+bc.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1. Не умаляя общности, положим a<b. Тогда c2+ab<ac+bc⇔(c−b)(c−a)<0⇔a<c<b. Докажем последнее неравенство от противного. Допустим, c≤a. Тогда c2+ab≤a2+ab<a2+b2 — противоречие. Допустим, c≥b. Тогда c2+ab≥b2+ab>b2+a2 — снова противоречие.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.