Азия-тынық мұхит математикалық олимпиадасы, 2012 жыл

Есеп №1. $ABC$ үшбұрышының ішінен $P$ нүктесі алынған. $AP$, $BP$ және $CP$ түзулері $BC$, $AC$ және $AB$ түзулерін екінші рет сәйкесінше $D$, $E$ және $F$ нүктелерінде қияды. Егер әр $PFA$, $PDB$ және $PEC$ үшбұрыштарының аудандары 1-ге тең болса, онда $ABC$ үшбұрышының ауданы 6-ға тең екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)

---

Есеп №2. Өлшемі $2012 \times 2012$ тақтаның әр шаршысына бір уақытта 0-ден кем емес және 1-ден үлкен емес нақты сандар жазылған. Тақтаны горизонталь немесе вертикаль тор сызықтарымен екі бос емес тіктөртбұрыштарға бөлуді қарастырайық. Осындай кез келген бөлуде кемінде бір тіктөртбұрыштағы сандар қосындысы 1-ден аспасын. $2012 \times 2012$ тақтаның барлық сандар қосындысының ең үлекен мүмкін мәнін табыңыз.
комментарий/решение(1)

---

Есеп №3. $\dfrac{{{n^p} + 1}}{{{p^n} + 1}}$ бөлшегі бүтін сан болатындай натурал $n$ санының және жай $p$ санының барлық ${(p, n)}$ жұптарын табыңыз.
комментарий/решение(3)

---

Есеп №4. Сүйірбұрышты $ABC$ үшбұрышы берілген. $M$ нүктесі $BC$-ның ортасы, $AD$ — биіктік, $H$ — $ABC$ үшбұрышының биіктіктер қиылысу нүктесі болсын. $MH$ сәулесі мен $ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған $\Gamma$ шеңбері $E$ нүктесінде қиылысады. $ED$ түзуі мен $\Gamma$ шеңбері екінші рет $F$ нүктесінде қиылыссын. $\dfrac{{BF}}{{CF}} = \dfrac{{AB}}{{AC}}$ теңдігін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(3)

---

Есеп №5. Натурал $n$ саны 2-ден кем емес натурал сан. Егер нақты $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_n$ сандары $a_1^2 + a_2^2 + \ldots + a_n^2 = n$ теңдігін қанағаттандырса, онда $ \sum\limits_{1 \leq i < j \leq n} {\dfrac{1}{{n - {a_i}{a_j}}}} \leq \dfrac{n}{2} $ теңсіздігін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)

---