Азия-тынық мұхит математикалық олимпиадасы, 2012 жыл

Есеп №1.

$ABC$ үшбұрышының ішінен

$P$ нүктесі алынған.

$AP$ ,

$BP$ және

$CP$ түзулері

$BC$ ,

$AC$ және

$AB$ түзулерін екінші рет сәйкесінше

$D$ ,

$E$ және

$F$ нүктелерінде қияды. Егер әр

$PFA$ ,

$PDB$ және

$PEC$ үшбұрыштарының аудандары 1-ге тең болса, онда

$ABC$ үшбұрышының ауданы 6-ға тең екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)

Есеп №2. Өлшемі

$2012 \times 2012$ тақтаның әр шаршысына бір уақытта 0-ден кем емес және 1-ден үлкен емес нақты сандар жазылған. Тақтаны горизонталь немесе вертикаль тор сызықтарымен екі бос емес тіктөртбұрыштарға бөлуді қарастырайық. Осындай кез келген бөлуде кемінде бір тіктөртбұрыштағы сандар қосындысы 1-ден аспасын.

$2012 \times 2012$ тақтаның барлық сандар қосындысының ең үлекен мүмкін мәнін табыңыз.
комментарий/решение(1)

Есеп №3.

$\dfrac{{{n^p} + 1}}{{{p^n} + 1}}$ бөлшегі бүтін сан болатындай натурал

$n$ санының және жай

$p$ санының барлық

${(p, n)}$ жұптарын табыңыз.
комментарий/решение(6)

Есеп №4. Сүйірбұрышты

$ABC$ үшбұрышы берілген.

$M$ нүктесі

$BC$ -ның ортасы,

$AD$ — биіктік,

$H$ —

$ABC$ үшбұрышының биіктіктер қиылысу нүктесі болсын.

$MH$ сәулесі мен

$ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған

$\Gamma$ шеңбері

$E$ нүктесінде қиылысады.

$ED$ түзуі мен

$\Gamma$ шеңбері екінші рет

$F$ нүктесінде қиылыссын.

$\dfrac{{BF}}{{CF}} = \dfrac{{AB}}{{AC}}$ теңдігін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(3)

Есеп №5. Натурал

$n$ саны 2-ден кем емес натурал сан. Егер нақты

$a_1$ ,

$a_2$ ,

$\ldots$ ,

$a_n$ сандары

$a_1^2 + a_2^2 + \ldots + a_n^2 = n$ теңдігін қанағаттандырса, онда

$\sum\limits_{1 \leq i < j \leq n} {\dfrac{1}{{n - {a_i}{a_j}}}} \leq \dfrac{n}{2}$ теңсіздігін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)

результаты