Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2012 год

Пусть дан остроугольный треугольник $ABC$. Обозначим через $D$ — основание перпендикуляра, опущенного из вершины $A$ на сторону $BC$, $M$ — середину $BC$, $H$ — точку пересечения высот треугольника $ABC$. Пусть $E$ — точка пересечения описанной окружности $\Gamma$ треугольника $ABC$ и луча $MH$, $F$ — точка пересечения (отличная от $E$) прямой $ED$ и окружности $\Gamma$ . Докажите, что выполнятся равенство $\frac{{BF}}{{CF}} = \frac{{AB}}{{AC}}$.

Комментарий/решение

Заметим что требуемое в задаче можно переформулировать как BF*AC=CF*AB, а это свою очередь условие гармонического четырехугольника. Следовательно достаточно доказать что BF симедиана исходного треугольника.

По свойству ортоцентра вторая точка пересечение HM и описанной окружности треугольника ABC диаметрально противоположен A. Следовательно <MEA=90. Из этого вытекает вписанность четырехугольника MDEA.

Обозначим <BME=b , <EMA=a и <BCA=c, следовательно <DEA=180-a-b, из за вписанности

<ABF=180-a-b. Опять из за вписанности <FCA=a+b => < BCF=a+b-c=<BAF

<MAC+<MCA=<BMA=a+b => <MAC=a+b-c. Заметим что <BAF=<CAM следовательно по определению симедианы BF является симедианой, что и требовала задача.

Пусть $AE$ пересекается с $BC$ в точке $P$, $AD$ пересекается с окр в точке $N$. Очевидно $AEDM$ и $DNFM$ вписанные из свойства ортоцентра. Тогда из рад. осей $N, F, P$ лежат на одной линии. Применим Тео. Паскаля для $AANFFE$ тогда очевидно что четырехугольник $ABFC$ гармоничный.

Пусть $F' \in (ABC)$ и $AF' \: -$ семидиана в $\triangle ABC, T \: -$ диаметрально противоположная точке $A$ относительно $(ABC).$ Довольно известно то что $H, M, T \: -$ лежат на одной прямой. Теперь покажем то что $DF' \cap MT = E \in (ABC).$ Пусть $f(X) = \pm \frac{BX}{CX},$ тогда по свойстве $CRL$ нужно доказать то что $\frac{f(D)}{f(F')} = \frac{f(M)}{f(T)}.$ Пусть $AD \cap (ABC) = T' \Rightarrow TT' \parallel BC \Rightarrow f(T') = \frac{1}{f(T)}$ и ещё $f(D) = f(A) \cdot f(T') = \frac{f(A)}{f(T)} \Rightarrow \Rightarrow f(T) = \frac{f(A)}{f(D)},$ аналогично $f(M) = \frac{f(A)}{f(F')} \Rightarrow \frac{f(M)}{f(T)} = \frac{\frac{f(A)}{f(F')}}{\frac{f(A)}{f(D)}} = \frac{f(D)}{f(F')} \Rightarrow F' = F$ и $ABFC \: -$ гармонический.$\square$