Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2012 год
Пусть дан остроугольный треугольник ABC. Обозначим через D — основание перпендикуляра, опущенного из вершины A на сторону BC, M — середину BC, H — точку пересечения высот треугольника ABC. Пусть E — точка пересечения описанной окружности Γ треугольника ABC и луча MH, F — точка пересечения (отличная от E) прямой ED и окружности Γ . Докажите, что выполнятся равенство BFCF=ABAC.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Заметим что требуемое в задаче можно переформулировать как BF*AC=CF*AB, а это свою очередь условие гармонического четырехугольника. Следовательно достаточно доказать что BF симедиана исходного треугольника.
По свойству ортоцентра вторая точка пересечение HM и описанной окружности треугольника ABC диаметрально противоположен A. Следовательно <MEA=90. Из этого вытекает вписанность четырехугольника MDEA.
Обозначим <BME=b , <EMA=a и <BCA=c, следовательно <DEA=180-a-b, из за вписанности
<ABF=180-a-b. Опять из за вписанности <FCA=a+b => < BCF=a+b-c=<BAF
<MAC+<MCA=<BMA=a+b => <MAC=a+b-c. Заметим что <BAF=<CAM следовательно по определению симедианы BF является симедианой, что и требовала задача.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.