Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2012 год

Задача №1.  Пусть $P$ — является внутренней точкой треугольника $ABC$, а $D$, $E$ и $F$ — точки пересечения прямой $AP$ и стороны $BC$ треугольника, прямой $BP$ и стороны $CA$, прямой $CP$ и стороны $AB$, соответственно. Докажите, что площадь треугольника $ABC$ равна 6, если площадь каждого треугольника $PFA$, $PDB$ и $PEC$ равна 1.
комментарий/решение(1)

---

Задача №2.  В каждой ячейке клетчатой доски размера $2012 \times 2012$ по одному вписаны действительные числа, одновременно не меньше $0$ и не больше $1$. Рассмотрим разбиения доски на два непустых прямоугольника вдоль горизонтальной или вертикальной линии сетки. Пусть при любом таком разбиении хотя бы в одном из двух полученных прямоугольников сумма чисел не будет превышать $1$. Определите максимально возможную сумму всех чисел доски размера $2012 \times 2012$.
комментарий/решение(1)

---

Задача №3.  Определите всевозможные пары $(p, n)$ простого числа $p$ и натурального числа $n$, для которых $\dfrac{{{n^p} + 1}}{{{p^n} + 1}}$ — является целым.
комментарий/решение(6)

---

Задача №4.  Пусть дан остроугольный треугольник $ABC$. Обозначим через $D$ — основание перпендикуляра, опущенного из вершины $A$ на сторону $BC$, $M$ — середину $BC$, $H$ — точку пересечения высот треугольника $ABC$. Пусть $E$ — точка пересечения описанной окружности $\Gamma$ треугольника $ABC$ и луча $MH$, $F$ — точка пересечения (отличная от $E$) прямой $ED$ и окружности $\Gamma$ . Докажите, что выполнятся равенство $\frac{{BF}}{{CF}} = \frac{{AB}}{{AC}}$.
комментарий/решение(3)

---

Задача №5.  Пусть $n$ — натуральное число, большее или равно 2. Докажите, что если действительные числа $a_1$, $a_2$, $\dots$, $a_n$ удовлетворяют равенству $a_1^2 + a_2^2 + \dots + a_n^2 = n$, то выполняется неравенство: $$\sum\limits_{1 \leq i < j \leq n} {\frac{1}{{n - {a_i}{a_j}}}} \leq \frac{n}{2}.$$
комментарий/решение(1)

---