Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2012 год

Пусть $n$ — натуральное число, большее или равно 2. Докажите, что если действительные числа $a_1$, $a_2$, $\dots$, $a_n$ удовлетворяют равенству $a_1^2 + a_2^2 + \dots + a_n^2 = n$, то выполняется неравенство: $$ \sum\limits_{1 \leq i < j \leq n} {\frac{1}{{n - {a_i}{a_j}}}} \leq \frac{n}{2}. $$

Комментарий/решение

\[ \sum \limits_{1\leq i < j \leq n}^{}\dfrac{n}{n-a_ia_j} \leq \dfrac{n^2}{2} \quad \to\:\: \sum \limits_{1\leq i < j \leq n}\left(1+ \dfrac{a_ia_j}{n-a_ia_j}\right) \leq \dfrac{n^2}{2}\quad \to\:\: \sum \limits_{1\leq i < j \leq n}^{}\dfrac{a_ia_j}{n-a_ia_j} \leq \dfrac{n}{2} \]

\[\]

\[\sum \limits_{1\leq i < j \leq n}^{}\dfrac{2a_ia_j}{n-a_ia_j} \leq\sum \limits_{1\leq i < j \leq n}^{}\dfrac{4a_ia_j}{2n-(a_i^2+a_j^2)} \leq \sum \limits_{1\leq i < j \leq n}^{}\dfrac{(a_i+a_j)^2}{2n-(a_i^2+a_j^2)} \leq \sum \limits_{1\leq i < j\leq n}^{} \left( \dfrac{a_i^2}{n-a_j^2} + \dfrac{a_j^2}{n-a_i^2}\right)\]

\[\sum \limits_{1 \leq i < j \leq n}^{} \dfrac{a_j^2}{n-a_i^2} + \sum \limits_{1\leq i < j \leq n}^{} \dfrac{a_i^2}{n-a_j^2}= \sum \limits_{i=1}^{n} \dfrac{\left( \sum \limits_{j=1}^{n} a_j^2\right) -a_i^2}{n-a_i^2}=\sum \limits_{i=1}^{n} \dfrac{n-a_i^2}{n-a_i^2} = n \quad \square\]