Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2012 год

Пусть $n$ — натуральное число, большее или равно 2. Докажите, что если действительные числа $a_1$, $a_2$, $\dots$, $a_n$ удовлетворяют равенству $a_1^2 + a_2^2 + \dots + a_n^2 = n$, то выполняется неравенство: $$\sum\limits_{1 \leq i < j \leq n} {\frac{1}{{n - {a_i}{a_j}}}} \leq \frac{n}{2}.$$

Комментарий/решение