Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2001 год

Задача №1. Для натурального числа

$n$ пусть

$S(n)$ — сумма цифр в его десятичном представлении. Любое натуральное число, полученное посредством удаления нескольких (по крайней мере одной) цифр с правого конца десятичного представления

$n$ , называется обрубком. Пусть

$T(n)$ — сумма всех обрубков числа

$n$ . Докажите, что

$n=S(n)+9T(n)$ .
комментарий/решение(1)

Задача №2. Найдите такое наибольшее натуральное число

$N$ , что количество целых чисел в наборе

$\{1,2,\ldots ,N\}$ , которые кратны 3 равно количеству чисел, кратных 5 или 7 (или кратных обоим одновременно).
комментарий/решение(1)

Задача №3. Пусть два равных правильных

$n$ -угольника

$S$ и

$T$ расположены на плоскости таким образом, что их пересечением является

$2$ -угольник

$(n\ge 3)$ . Стороны многоугольника

$S$ окрашены в красный цвет, а стороны

$T$ — в синий. Докажите, что сумма длин синих сторон многоугольника

$S\cap T$ равна сумме длин красных сторон.
комментарий/решение

Задача №4. Точка на прямой в декартовой системе координат называется смешанной точной, если одна из его координат является рациональным числом и другая — иррациональным. Найдите все такие многочлены с действительными коэффициентами, что их графики не содержат ни одну смешанную точку.
комментарий/решение(1)

Задача №5. Найдите такое наибольшее целое число

$n$ , что существуют

$n+4$ точек

$A,B,C,D,{{X}_{1}},\ldots ,{{X}_{n}}$ на плоскости (

$AB\ne CD$ ), удовлетворяющих следующему условию: для любого

$i=1,2,\ldots, n$ треугольники

$AB{{X}_{i}}$ и

$CD{{X}_{i}}$ равны.
комментарий/решение