Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2001 год

Точка на прямой в декартовой системе координат называется смешанной точной, если одна из его координат является рациональным числом и другая — иррациональным. Найдите все такие многочлены с действительными коэффициентами, что их графики не содержат ни одну смешанную точку.

Комментарий/решение

Давайте покажем, что все коэффициенты многочлена целые. Пусть у нас есть многочлен $P(x), \, deg(P(x)) = n$. Рассмотрим $n + 1$ рациональное число $x_{1}, x_{2},...,x_{n+1}$. Пусть $P(x)$ принимает в них значения $r_{1}, r_{2},...,r_{n+1}$. Тогда рассмотрев интерполяционный многочлен Лагранжа $$P(x) = \sum \limits_{i=1}^{n + 1}{r_{i}} \cdot \frac{\prod \limits_{j \ne i}{(x-x_{j})}}{\prod \limits_{j \ne i}{(x_{i}-x_{j})}}$$ Несложно заметить, что все коэффициенты $P(x)$ рациональные. Также мы можем считать, что все его коэффициенты целые, так как умножение на рациональное число не влияет на ответ. Заменяя $P(x) \Rightarrow a_{n}^{n-1}P(\frac{x}{x_{n}})$ получаем что можно считать, что $a_{n} = 1$.

Заметим, что любой многочлен первой степени с рациональными коэффициентами удовлетворяет условию задачи. А многочлен нулевой степени нет.

Теперь рассмотрим $r > max\{f(1)-f(0), y_{1}, y_{2},...,y_{k}\}, \, r \in \mathbb{P}$ где $y_{1}, y_{2},...,y_{k}$ корни $P(x)-x-P(0)$. Тогда в силу выбора $r$ справедливо $P(1)-P(0)-r<0<P(r)-r-P(0)$. Это значит, что многочлен $P(x)-r-P(0)$ имеет корень на промежутке $(1, r)$. Но по теореме о рациональном корне многочлена все рациональные корни этого многочлена это $\{1, -1, r, -r\}$. Значит $P(x) = r + P(0) \in \mathbb{Z}$ имеет иррациональный корень, противоречие.