Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2001 год


Точка на прямой в декартовой системе координат называется смешанной точной, если одна из его координат является рациональным числом и другая — иррациональным. Найдите все такие многочлены с действительными коэффициентами, что их графики не содержат ни одну смешанную точку.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  4
3 года 2 месяца назад #

Давайте покажем, что все коэффициенты многочлена целые. Пусть у нас есть многочлен P(x),deg(P(x))=n. Рассмотрим n+1 рациональное число x1,x2,...,xn+1. Пусть P(x) принимает в них значения r1,r2,...,rn+1. Тогда рассмотрев интерполяционный многочлен Лагранжа P(x)=n+1i=1riji(xxj)ji(xixj) Несложно заметить, что все коэффициенты P(x) рациональные. Также мы можем считать, что все его коэффициенты целые, так как умножение на рациональное число не влияет на ответ. Заменяя P(x)an1nP(xxn) получаем что можно считать, что an=1.

Заметим, что любой многочлен первой степени с рациональными коэффициентами удовлетворяет условию задачи. А многочлен нулевой степени нет.

Теперь рассмотрим r>max{f(1)f(0),y1,y2,...,yk},rP где y1,y2,...,yk корни P(x)xP(0). Тогда в силу выбора r справедливо P(1)P(0)r<0<P(r)rP(0). Это значит, что многочлен P(x)rP(0) имеет корень на промежутке (1,r). Но по теореме о рациональном корне многочлена все рациональные корни этого многочлена это {1,1,r,r}. Значит P(x)=r+P(0)Z имеет иррациональный корень, противоречие.