Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2001 год

Для натурального числа $n$ пусть $S(n)$ — сумма цифр в его десятичном представлении. Любое натуральное число, полученное посредством удаления нескольких (по крайней мере одной) цифр с правого конца десятичного представления $n$, называется обрубком. Пусть $T(n)$ — сумма всех обрубков числа $n$. Докажите, что $n=S(n)+9T(n)$.

Комментарий/решение

Будем доказывать по индукции для числа знаков в десятичной записи числа $n$. База индукции для однозначного числа очевидна. Пусть $n = 10 \cdot x + y$. Значит $x = S(x) + 9 \cdot T(x)$. Тогда $T(n) = x + T(x), \, S(n) = S(x) + y$. Записывая все вместе мы получаем, что $n = 10 \cdot x + y = 9 \cdot T(n) + S(n) - 9 \cdot T(x) + x + y - S(n) = 9 \cdot T(n) + S(n) + x - 9 \cdot T(x) - S(x) = 9 \cdot T(n) + S(n)$, что и требовалось доказать.