11-ші «Жібек жолы» математикалық олимпиадасы, 2011 жыл
Есеп №1. Төмендегі шарттарды қанағаттандыратын A1,A2,A3,A4,A5 жиындары үшін
|A1∪A2∪A3∪A4∪A5| санының ең аз мүмкін мәнін анықтаңдар:
(i) барлық 1≤i<j≤5 үшін |Ai∩Aj|=1 , яғни кез келген әртүрлі екі жиынның дәл бір ортақ элементі бар;
(ii) барлық 1≤i<j<k<l≤5 үшін Ai∩Aj∩Ak∩Al=∅, яғни кез келген әртүрлі төрт жиынның ортақ элементі жоқ.
Мұнда |S| арқылы S жиынының элементтерінің саны белгіленген.
комментарий/решение(1)
(i) барлық 1≤i<j≤5 үшін |Ai∩Aj|=1 , яғни кез келген әртүрлі екі жиынның дәл бір ортақ элементі бар;
(ii) барлық 1≤i<j<k<l≤5 үшін Ai∩Aj∩Ak∩Al=∅, яғни кез келген әртүрлі төрт жиынның ортақ элементі жоқ.
Мұнда |S| арқылы S жиынының элементтерінің саны белгіленген.
комментарий/решение(1)
Есеп №2. C бұрышы доғал болатын теңбүйірлі ABC үшбұрышы берілген. AC қабырғасының (C нүктесінен ары қарайғы) созындысынан ∠KBC=∠ABC болатындай етіп K нүктесі алынған. ∠BKC және ∠ACB бұрыштарының биссектрисаларының қиылысуы S нүктесі болсын. AB және KS түзулері L нүктесінде, ал BS және CL түзулері M нүктесінде қиылыссын. KM түзуі BC кесіндісінің ортасы арқылы өтетінін дәлелдеңдер.
(
М. Кунгожин
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №3. a+b+c=1 теңдеуін қанағаттандыратын кез келген оң, нақты a,b,c үшін төмендегі теңсіздік орындалатындай
(1(a+b)2+1(b+c)2+1(c+a)2)(a−bc)(b−ca)(c−ab)≤Mabc
M нақты санының ең кіші мүмкін мәнін анықтаңдар.
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Есеп №4. Кейбір бүтін m,n сандары арқылы m2+mn+n2 түрінде өрнектеуге болатын ақырсыз көп жай сандар табылатынын дәлелдеңдер.
комментарий/решение(6)
комментарий/решение(6)