11-ші «Жібек жолы» математикалық олимпиадасы, 2011 жыл

Есеп №1. Төмендегі шарттарды қанағаттандыратын

$A_1, A_2, A_3, A_4, A_5$ жиындары үшін

$|A_1 \cup A_2 \cup A_3 \cup A_4 \cup A_5|$ санының ең аз мүмкін мәнін анықтаңдар:
(i) барлық

$1 \le i < j \le 5$ үшін

$|A_i \cap A_j|= 1$ , яғни кез келген әртүрлі екі жиынның дәл бір ортақ элементі бар;
(ii) барлық

$1 \le i < j < k < l \le 5$ үшін

$A_i \cap A_j \cap A_k \cap A_l = \emptyset$ , яғни кез келген әртүрлі төрт жиынның ортақ элементі жоқ.
Мұнда

$|S|$ арқылы

$S$ жиынының элементтерінің саны белгіленген.
комментарий/решение(1)

Есеп №2.

$C$ бұрышы доғал болатын теңбүйірлі

$ABC$ үшбұрышы берілген.

$AC$ қабырғасының (

$C$ нүктесінен ары қарайғы) созындысынан

$\angle KBC = \angle ABC$ болатындай етіп

$K$ нүктесі алынған.

$\angle BKC$ және

$\angle ACB$ бұрыштарының биссектрисаларының қиылысуы

$S$ нүктесі болсын.

$AB$ және

$KS$ түзулері

$L$ нүктесінде, ал

$BS$ және

$CL$ түзулері

$M$ нүктесінде қиылыссын.

$KM$ түзуі

$BC$ кесіндісінің ортасы арқылы өтетінін дәлелдеңдер. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(2)

Есеп №3.

$a+b+c = 1$ теңдеуін қанағаттандыратын кез келген оң, нақты

$a,b,c$ үшін төмендегі теңсіздік орындалатындай

$\left( \dfrac{1}{(a+b)^2} + \dfrac{1}{(b+c)^2} + \dfrac{1}{(c+a)^2}\right) (a-bc)(b-ca)(c-ab) \le M abc$

$M$ нақты санының ең кіші мүмкін мәнін анықтаңдар.
комментарий/решение(3)

Есеп №4. Кейбір бүтін

$m,n$ сандары арқылы

$m^2 + mn + n^2$ түрінде өрнектеуге болатын ақырсыз көп жай сандар табылатынын дәлелдеңдер.
комментарий/решение(6)

результаты