X математическая олимпиада «Шелковый путь», 2011 год
Определите наименьшее возможное значение
|A1∪A2∪A3∪A4∪A5|,
где A1,A2,A3,A4,A5 множества,
одновременно удовлетоворяющие следующим условиям:
(i) |Ai∩Aj|=1 для всех 1≤i<j≤5, т.е. любые два различных множества содержат ровно один общий элемент;
(ii) Ai∩Aj∩Ak∩Al=∅ для всех 1≤i<j<k<l≤5, т.е. любые четыре различных множества не содержат общего элемента.
Здесь |S| означает количество элементов множества S.
посмотреть в олимпиаде
(i) |Ai∩Aj|=1 для всех 1≤i<j≤5, т.е. любые два различных множества содержат ровно один общий элемент;
(ii) Ai∩Aj∩Ak∩Al=∅ для всех 1≤i<j<k<l≤5, т.е. любые четыре различных множества не содержат общего элемента.
Здесь |S| означает количество элементов множества S.
Комментарий/решение:
Множество не может состоять из одного элемента, так как в таком случае будет выполнятся всегда (ii) условие, два каких то множества всегда будут иметь как минимум по 3 элемента, так как иначе найдутся два множества у которых общий элемент больше 1, пусть это будут множества A1,A2 тогда в них как минимум 5 разных элемента, но тогда A3 добавить как минимум 1 элемент по условию (i) но тогда всего различных элементов как минимум 5+1=6 значит наименьшее 6.
Например A1(1,2) A2(1,3,4) A3(1,5,6) A4(2,4,6) A5(2,3,5) тогда |A1∪A2∪A3∪A4∪A5|=(1,2,3,4,5,6)=6
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.