Районная олимпиада, 2004-2005 учебный год, 8 класс

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Задача №1. Найти сумму

$\dfrac{1}{{1 + \sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 2 + \sqrt 3 }} + \ldots + \dfrac{1}{{\sqrt {2004} + \sqrt {2005} }}.$
комментарий/решение(2)

Задача №2. На медиане

$AM$ треугольника

$ABC$ взята точка

$L$ такая, что

$AL:LM=1:2$ . В каком отношении делит прямая

$BL$ отрезок

$AC$ ?
комментарий/решение(5)

Задача №3. Числа

$2^{2004}$ и

$5^{2004}$ выписаны одно за другим. Сколько всего цифр выписано?
комментарий/решение(5)

Задача №4. Для любых вещественных чисел

$a, b, c$ докажите неравенство

$ab + bc + ac \leq a^2 + b^2 + c^2 .$
комментарий/решение(2)

Задача №5. Диагонали трапеции равны 6 см и 8 см, а отрезок, соединяющий середины ее оснований, равен 5 см. Найдите площадь трапеции.
комментарий/решение(2)

Задача №6. Имеются 4 монеты, каждая из которых весит 10 г или 11 г, и весы с одной чашкой, которые показывают суммарный вес груза, положенного на чашку. За какое наименьшее число взвешиваний можно узнать вес каждой монеты?
комментарий/решение(1)