3-ші «Жібек жолы» математикалық олимпиадасы, 2003 жыл

Есеп №1. Егер $1 \leq k \leq 2003$ үшін $a_k$, $a_k + a_{k+1}$, $\ldots$, $a_k + a_{k+1} + \ldots + a_{2003}$ қосындыларының ең болмағанда біреуі оң болса, онда берілген $a_1, a_2, \ldots, a_{2003}$ нақты сандар тізбегінің $a_k$ элементін бастаушы деп атаймыз. Егер тізбектің ең болмағанда бір бастаушы элементі табылса, онда оның барлық бастаушы элементтерінің қосындысы оң болатынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(8)

---

Есеп №2. $ABC$ үшбұрышының жартыпериметрі $s = (|AB| + |BC| + |AC|)/2$ болсын. $|AL| = |CN| = s$ шартын қанағаттандыратындай етіп $AB$ және $CB$ сәулелерінен сәйкес $L$ және $N$ нүктелерін алайық. $K$ нүктесі $B$ нүктесіне $ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің центріне қатысты симметриялы болсын. $K$ нүктесінен $NL$ түзуіне түсірілген перпендикуляр $ABC$ үшбұрышына іштей сызылған шеңбердің центрі арқылы өтетінін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение

---

Есеп №3. Бізге $0 < a < b < 1$ нақты сандары берілген және $$ g(x)= \begin{cases} x+1-a, & \text{ егер $0 < x < a$,}\\ b-a, & \text{ егер $x=a$,}\\ x-a, & \text{ егер $a < x < b$,}\\ 1-a, & \text{ егер $x=b$,}\\ x-a, & \text{ егер $b < x < 1$.} \end{cases} $$
Бір бүтін оң $n$ саны үшін, әрбір $0 \leq i \leq n$ үшін $g^n(x_i)=x_i$ теңдігін қанағаттандыратындай ${n + 1}$ нақты саннан тұратын $0 < x_0 < x_1 < \ldots < x_n < 1$ тізбегі табылсын дейік. Онда бір оң бүтін $N$ саны үшін және әрбір $0 < x < 1$ үшін $g^N(x)=x$ теңдігі орындалатынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение

---

Есеп №4. Егер $A = \{ m^n : m,n \in \mathbb{Z}, m,n \ge 2\}$ болса, $\sum\limits_{k \in A} {\dfrac{1}{{k - 1}}} $ қосындысын есептеп табыңыздар.
комментарий/решение

---