3-ші «Жібек жолы» математикалық олимпиадасы, 2003 жыл

Есеп №1. Егер

$1 \leq k \leq 2003$ үшін

$a_k$ ,

$a_k + a_{k+1}$ ,

$\ldots$ ,

$a_k + a_{k+1} + \ldots + a_{2003}$ қосындыларының ең болмағанда біреуі оң болса, онда берілген

$a_1, a_2, \ldots, a_{2003}$ нақты сандар тізбегінің

$a_k$ элементін бастаушы деп атаймыз. Егер тізбектің ең болмағанда бір бастаушы элементі табылса, онда оның барлық бастаушы элементтерінің қосындысы оң болатынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(8)

Есеп №2.

$ABC$ үшбұрышының жартыпериметрі

$s = (|AB| + |BC| + |AC|)/2$ болсын.

$|AL| = |CN| = s$ шартын қанағаттандыратындай етіп

$AB$ және

$CB$ сәулелерінен сәйкес

$L$ және

$N$ нүктелерін алайық.

$K$ нүктесі

$B$ нүктесіне

$ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің центріне қатысты симметриялы болсын.

$K$ нүктесінен

$NL$ түзуіне түсірілген перпендикуляр

$ABC$ үшбұрышына іштей сызылған шеңбердің центрі арқылы өтетінін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение

Есеп №3. Бізге

$0 < a < b < 1$ нақты сандары берілген және

$g(x)= \begin{cases} x+1-a, & \text{ егер $0 < x < a$,}\\ b-a, & \text{ егер $x=a$,}\\ x-a, & \text{ егер $a < x < b$,}\\ 1-a, & \text{ егер $x=b$,}\\ x-a, & \text{ егер $b < x < 1$.} \end{cases}$
Бір бүтін оң

$n$ саны үшін, әрбір

$0 \leq i \leq n$ үшін

$g^n(x_i)=x_i$ теңдігін қанағаттандыратындай

${n + 1}$ нақты саннан тұратын

$0 < x_0 < x_1 < \ldots < x_n < 1$ тізбегі табылсын дейік. Онда бір оң бүтін

$N$ саны үшін және әрбір

$0 < x < 1$ үшін

$g^N(x)=x$ теңдігі орындалатынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение

Есеп №4. Егер

$A = \{ m^n : m,n \in \mathbb{Z}, m,n \ge 2\}$ болса,

$\sum\limits_{k \in A} {\dfrac{1}{{k - 1}}}$ қосындысын есептеп табыңыздар.
комментарий/решение

результаты