II математическая олимпиада «Шелковый путь», 2003 год
Пусть $0 < a < b < 1$ являются действительными числами и
$$
g(x)=
\begin{cases}
x+1-a, & \text{если $0 < x < a$,}\\
b-a, & \text{если $x=a$,}\\
x-a, & \text{если $a < x < b$,}\\
1-a, & \text{если $x=b$,}\\
x-a, & \text{если $b < x < 1$.}
\end{cases}
$$
Положим, что для некоторого натурального числа $n$ найдутся $n + 1$ действительных чисел
$0 < x_0 < x_1 < \ldots < x_n < 1$ таких, что $g^n(x_i)=x_i$ для $0 \le i \le n$.
Докажите, что существует натуральное число $N$ такое, что $g^N(x)=x$ для всех $0 < x < 1$.
(Обозначение: $g^k(x) = \underbrace{g(g(\ldots(g}_{k \text{ раз}}(x))\ldots))$).
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.