3-ші «Жібек жолы» математикалық олимпиадасы, 2003 жыл

Бізге $0 < a < b < 1$ нақты сандары берілген және $$g(x)= \begin{cases} x+1-a, & \text{ егер $0 < x < a$,}\\ b-a, & \text{ егер $x=a$,}\\ x-a, & \text{ егер $a < x < b$,}\\ 1-a, & \text{ егер $x=b$,}\\ x-a, & \text{ егер $b < x < 1$.} \end{cases}$$
Бір бүтін оң $n$ саны үшін, әрбір $0 \leq i \leq n$ үшін $g^n(x_i)=x_i$ теңдігін қанағаттандыратындай ${n + 1}$ нақты саннан тұратын $0 < x_0 < x_1 < \ldots < x_n < 1$ тізбегі табылсын дейік. Онда бір оң бүтін $N$ саны үшін және әрбір $0 < x < 1$ үшін $g^N(x)=x$ теңдігі орындалатынын дәлелдеңіздер.