II математическая олимпиада «Шелковый путь», 2003 год

Пусть $0 < a < b < 1$ являются действительными числами и $$g(x)= \begin{cases} x+1-a, & \text{если $0 < x < a$,}\\ b-a, & \text{если $x=a$,}\\ x-a, & \text{если $a < x < b$,}\\ 1-a, & \text{если $x=b$,}\\ x-a, & \text{если $b < x < 1$.} \end{cases}$$ Положим, что для некоторого натурального числа $n$ найдутся $n + 1$ действительных чисел $0 < x_0 < x_1 < \ldots < x_n < 1$ таких, что $g^n(x_i)=x_i$ для $0 \le i \le n$. Докажите, что существует натуральное число $N$ такое, что $g^N(x)=x$ для всех $0 < x < 1$. (Обозначение: $g^k(x) = \underbrace{g(g(\ldots(g}_{k \text{ раз}}(x))\ldots))$).