II математическая олимпиада «Шелковый путь», 2003 год

Задача №1. Пусть

$a_1, a_2, \ldots, a_{2003}$ является последовательностью действительных чисел. Элемент

$a_k$ ,

$1 \le k \le 2003$ , назовем

$\textit{ведущим}$ элементом, если хотя бы одно из выражений

$a_k, a_k + a_{k+1}, \ldots, a_k + a_{k+1} + \ldots + a_{2003}$ является положительным. Докажите, сумма всех ведущих элементов последовательности является положительной, если последовательность имеет хотя бы один ведущий элемент.
комментарий/решение(8)

Задача №2. Пусть

$s = (AB + BC + AC)/2$ является полупериметром треугольника

$ABC$ . Выберем две точки

$L$ и

$N$ , лежащие на лучах

$AB$ и

$CB$ соответственно, при этом удовлетворяющих условию

$AL = CN = s$ . Пусть точка

$K$ является симметричной точке

$B$ относительно центра описанной окружности треугольника

$ABC$ . Докажите, что перпендикуляр, опущенный из точки

$K$ на прямую

$NL$ , проходит через центр вписанной окружности треугольника

$ABC$ .
комментарий/решение

Задача №3. Пусть

$0 < a < b < 1$ являются действительными числами и

$g(x)= \begin{cases} x+1-a, & \text{если $0 < x < a$,}\\ b-a, & \text{если $x=a$,}\\ x-a, & \text{если $a < x < b$,}\\ 1-a, & \text{если $x=b$,}\\ x-a, & \text{если $b < x < 1$.} \end{cases}$ Положим, что для некоторого натурального числа

$n$ найдутся

$n + 1$ действительных чисел

$0 < x_0 < x_1 < \ldots < x_n < 1$ таких, что

$g^n(x_i)=x_i$ для

$0 \le i \le n$ . Докажите, что существует натуральное число

$N$ такое, что

$g^N(x)=x$ для всех

$0 < x < 1$ . (Обозначение:

$g^k(x) = \underbrace{g(g(\ldots(g}_{k \text{ раз}}(x))\ldots))$ ).
комментарий/решение

Задача №4. Найдите сумму

$\sum_{k \in A}\dfrac{1}{k-1}$ если

$A = \{ m^n : m,n \in \mathbb{Z}, m,n \ge 2\}$ .
комментарий/решение

результаты