қазақша
русскийЛеонард Эйлер атындағы олимпиада,
2010-2011 оқу жылы, қорытынды кезеңнің 1-ші туры
Есеп №1. Кез келген $n > 1$ натурал саны үшін $a+b=c+d=ab-cd=4n$ болатындай $a$, $b$, $c$, $d$ натурал сандары табылатынын дәлелдеңіз.
(
С. Берлов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №2. Дөңгелек үстелдің бойында 40 адам отыр. Кез келген арасында жұп сан адам отыратын екі адамның ортақ танысы болатындай, ал кез келген арасында тақ сан адам отыратын екі адамның ортақ танысы болмайтындай бола алады ма?
(
А. Шаповалов
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №3. Үш литрлік банка мен көлемі 100 мл болатын өлшеу берілген. Бірінші банка бос, екіншісінде — 700 мл тәтті шәй, ал үшіншісінде — 800 мл тәтті шәй. Сондай ақ, екіншісінде 50 г қант, ал үшіншісінде 60 г қант ертілген. Кез келген банкадан өлшеуді толық толтырып басқа өлшеуге барлық шәйді төгуге рұқсат етіледі. Бірінші банка бос, ал екінші банкадағы қанттың мөлшері үшінші банкадағы қанттың мөлшеріне тең болатындай бірнеше осындай құйыстардаң арқасында жасауға болады ма?
(
В. Шевяков
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №4. $AB=CD$ тең болатын $ABCD$ дөңес төртбұрышының ішінен $PBA$ мен $PCD$ бұрыштарының қосындысы $180^\circ$ болатындай $P$ нүктесі алынған. $PB+PC < AD$ екенін дәлелдеңіз.
(
С. Берлов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)