Олимпиада имени Леонарда Эйлера
2013-2014 учебный год, I тур дистанционного этапа

Задача №1.  Дана дробь 2/3. Разрешается много раз выполнять следующие операции: прибавлять 2013 к числителю или прибавлять 2014 к знаменателю. Можно ли с помощью только этих операций получить дробь, равную 3/5?
комментарий/решение(1)

---

Задача №2.  Клетчатый прямоугольник со сторонами 629 и 630 разрезан на несколько квадратов (все разрезы идут по линиям сетки). Какое наименьшее число квадратов с нечетной стороной может оказаться в таком разбиении? Не забудьте объяснить, почему в разбиении не может получиться меньшее число квадратов с нечетной стороной.
комментарий/решение(1)

---

Задача №3.  Сумасшедший конструктор создал часы с 150 стрелками. Первая стрелка крутится со скоростью один оборот в час, вторая делает 2 оборота в час, $\dots$, 150-я стрелка делает 150 оборотов в час. Часы запустили из положения, когда все стрелки смотрели строго вверх. Когда в процессе работы часов встречаются две или более стрелки, эти стрелки немедленно отваливаются. Через какое время после запуска отвалится стрелка, вращающаяся со скоростью 74 оборота в час?
комментарий/решение(1)

---

Задача №4.  На выборах в Солнечном Городе можно было проголосовать за Винтика, Шпунтика или Кнопочку. После оглашения результатов оказалось, что все кандидаты набрали в сумме $146 \%$ голосов. Считавший голоса Незнайка объяснил, что по ошибке подсчитал процент голосов за Винтика не от общего числа проголосовавших, а лишь от числа голосовавших за Винтика или Шпунтика (остальные проценты он подсчитал правильно). Известно, что за Шпунтика проголосовало больше 1000 избирателей. Докажите, что Винтик набрал больше 850 голосов.
комментарий/решение(1)

---

Задача №5.  Диагонали $AD$ и $BE$ выпуклого пятиугольника $ABCDE$ пересекаются в точке $P$. Известно, что $AC = CE = AE$, $\angle APB = \angle ACE$ и $AB+BC = CD+DE$. Докажите, что $AD = BE$.
комментарий/решение(1)

---