Олимпиада имени Леонарда Эйлера2013-2014 учебный год, I тур дистанционного этапа

На выборах в Солнечном Городе можно было проголосовать за Винтика, Шпунтика или Кнопочку. После оглашения результатов оказалось, что все кандидаты набрали в сумме $146 \%$ голосов. Считавший голоса Незнайка объяснил, что по ошибке подсчитал процент голосов за Винтика не от общего числа проголосовавших, а лишь от числа голосовавших за Винтика или Шпунтика (остальные проценты он подсчитал правильно). Известно, что за Шпунтика проголосовало больше 1000 избирателей. Докажите, что Винтик набрал больше 850 голосов.

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Решение. Пусть Шпунтик набрал $a$ голосов, Винтик — $ka$ голосов, Кнопочка — $b$ голосов. По условию $ka/(a+ka)+(a+b)/(a+ka+b) = 1,46$ откуда $ka/(a+ka) > 0,46$ $\Leftrightarrow$ $k > 0,46(1+k)$ $\Leftrightarrow$ $k > 46/54 > 0,85$. Пусть Шпунтик набрал 1000 голосов. Тогда за Винтика голосовали $1000k > 1000 \cdot 0,85 = 850$ человек, что и требовалось доказать.