Математикадан Эйлер олимпиадасы, 2013-2014 оқу жылы, Дистанциялық кезеңнің 1-ші туры


Шуақты қаласында өткен сайлауда Винтикке, Шпунтикке немесе Кнопочкаға дауыс беруге болатын. Сайлаудың нәтижесін жариялау кезінде, кандидаттардың барлық дауысы $146 \%$ болып шыққан. Дауыстарды санаған Незнайка, өзінің қателесіп, Винтикке берген дауыс процентін ол барлық дауыстан емес, тек Винтик пен Шпунтикке берген дауыс санынан тапқанын айтты (қалған дауыс проценттерін ол дұрыс санаған). Шпунтикке 1000-нан астам сайлаушы дауыс бергені белгілі. Винтиктің 850-ден астам дауыс жинағанын дәлелде.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Решение. Пусть Шпунтик набрал $a$ голосов, Винтик — $ka$ голосов, Кнопочка — $b$ голосов. По условию $ka/(a+ka)+(a+b)/(a+ka+b) = 1,46$ откуда $ka/(a+ka) > 0,46$ $ \Leftrightarrow $ $k > 0,46(1+k)$ $ \Leftrightarrow $ $k > 46/54 > 0,85$. Пусть Шпунтик набрал 1000 голосов. Тогда за Винтика голосовали $1000k > 1000 \cdot 0,85 = 850$ человек, что и требовалось доказать.