Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Олимпиада имени Леонарда Эйлера
2013-2014 учебный год, I тур дистанционного этапа


Диагонали AD и BE выпуклого пятиугольника ABCDE пересекаются в точке P. Известно, что AC=CE=AE, APB=ACE и AB+BC=CD+DE. Докажите, что AD=BE.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Решение. По условию треугольник ACE — равносторонний, откуда APB=ACE=60 и APE=120. Положим φ=BEA. Тогда DAE=180APEBEA=60φ, откуда CAD=φ. Поэтому при повороте на 120 относительно центра треугольника ACE, переводящем A в E, луч AD перейдет в луч EB, а точка D — в такую точку F, что EF=AD и AF+FC=CD+DE=AB+BC. Нетрудно показать, что если EF>EB, то AF+FC>AB+BC, а если EF<EB, то AF+FC<AB+BC. Поэтому AD=EF=BE, что и требовалось доказать.