Олимпиада имени Леонарда Эйлера
2013-2014 учебный год, I тур дистанционного этапа
Диагонали AD и BE выпуклого пятиугольника ABCDE пересекаются в точке P. Известно, что AC=CE=AE, ∠APB=∠ACE и AB+BC=CD+DE. Докажите, что AD=BE.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1. Решение. По условию треугольник ACE — равносторонний, откуда ∠APB=∠ACE=60∘ и ∠APE=120∘. Положим φ=∠BEA. Тогда ∠DAE=180∘−∠APE−∠BEA=60∘−φ, откуда ∠CAD=φ. Поэтому при повороте на 120∘ относительно центра треугольника ACE, переводящем A в E, луч AD перейдет в луч EB, а точка D — в такую точку F, что EF=AD и AF+FC=CD+DE=AB+BC. Нетрудно показать, что если EF>EB, то AF+FC>AB+BC, а если EF<EB, то AF+FC<AB+BC. Поэтому AD=EF=BE, что и требовалось доказать.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.