Математикадан Эйлер олимпиадасы, 2011-2012 оқу жылы, Дистанциялық кезеңнің 3-ші туры

Есеп №1. Ёлкино мен Палкиноның арасында бір емен өсіп тур және де сол еменнен Ёлкиноға дейін Палкиноға қарағанда екі есе жақын. Нөлден үлкен тұрақты жылдамдықпен Федя Ёлкинодан Палкиноға шықты. Сағат 12.00-де Федя Ёлкинға қарағанда еменге екі есе жақын болды, ал сағат 12.40-та Федя тағы да Ёлкинға қарағанда еменге екі есе жақын болды. Сағат қаншада Федя Палкинода болады?
комментарий/решение(1)

Есеп №2. Үш баланың әрқайсысы әрқашан да шын, немесе өтірік айтады. Оларға алты натурал сан айтты, содан кейін олардың әрқайсысы екі тұжырым шығарды.
Петя: 1) Бұл қатар келген алты натурал сан. 2) Осы алты санның қосындысы жұп сан.
Вася: 1) Бұл 1, 2, 3, 4, 5, 6 сандары. 2) Коля — өтірікші.
Коля: 1) Бұл сандардың барлығы әр түрлі және 3-ке бөлінеді. 2) Бұл сандардың барлығы 20-дан кіші.
Балаларға қандай сандар айтылды?
комментарий/решение(1)

Есеп №3. Сырт жағынан бірдей алты тиын бар. Оның төртеуі шын, екеуі — жалған. Барлық шын тиындардың салмағы бірдей ал жалған тиындардың салмағы одан жеңіл және жалған тиындардың салмағы әр түрлі. Екі табағы бар таразы бар, және сол табақтарға тиын салса, ауыр тиыны бар табақ басылып төмен түседі. Үш өлшем жүргізіп, жалған тиынның екуін де қалай табуға болады? (Екі жалған тиынның қайсысы ауыр екенін тауып керек емес.)
комментарий/решение(1)

Есеп №4. Сүйір $BAC$ бұрышының ішінен $CAD$ бұрышы $BAD$ бұрышынан екі есе үкен болатындай $D$ нүктесі алынған. $D$ нүктесінен $AC$-ға дейінгі қашықтық, $D$ нүктесінен $AB$-ға дейінгі қашыштықтан екі есе үлкен болуы мүмкін бе?
комментарий/решение(1)

Есеп №5. 48 бөлшектің алымы да бөлімі де $2$, $3$, $\ldots$, $49$ сандарынан тұрады, және де осы сандардың әрқайсысы алымда да бөлімде де кездеседі. Осы бөлшектердің ішінде бүтін бөлшек немесе барлық саны 25-тен көп емес және көбейтіндісі бүтін болатын бөлшектер табылатынын дәлелде.
комментарий/решение(1)