Математикадан Эйлер олимпиадасы, 2011-2012 оқу жылы, Дистанциялық кезеңнің 1-ші туры

Есеп №1.

$12 \times 12$ тақтасының шаршыларынан құралған

$2 \times 2$ бір тақтасында фишкалар саны тақ, ал қалғандарында фишкалар саны жұп болатындай

$12 \times 12$ тақтасыдағы шаршылардың жартысына фишкалар қойып шығуға бола ма?
комментарий/решение(2)

Есеп №2.

$ABC$ үшбұрышында

$C$ бұрышы

$A$ бұрышынан үш есе үлкен, ал

$AB$ қабырғасы

$BC$ қабырғасынан екі есе үлкен.

$ABC$ бұрышы 60 градусқа тең екенін дәлелдеңдер.
комментарий/решение(1)

Есеп №3. Әр түрлі 5 натурал сан берілген. Осы сандардың ең кіші екеуінің көбейтіндісі 25-тен үлкен, ал ең үлкен екеуінің көбейтіндісі 75-тен кіші болса осы сандарды табыңдар (барлық мүмкін варианттырды көрсетіп, басқа варианттар жоқ екенін дәлелдеңдер).
комментарий/решение(1)

Есеп №4. Али-Бабада ішінде тиыны бар 40 қап бар. Али-Баба өтініші бойынша Джин Али-Баба көрсеткен екі қаптың әрқайсысында дәл қазір қанша тиын бар екенін айта алады, бірақ ол өтініш үшін сол екі қаптын біреуінен бір тиын алады (және қай қаптан алғанын Али-Баба көрмейді). Али-Баба осындай 100-ден аспайтын амалдар санынан кейін Джин санаған соңғы екі қаптан басқа қалған әр қапта қанша тиын қалғанын дәл тауып айта алтындай әрекет қолдана алады ма? Әр қапта тиын саны 1000-нан көп.
комментарий/решение(1)

Есеп №5. Тоғыз натурал сан берілген. Сол сандар ішінде бірінші сан тек 1 деген цифрдан, екінші сан тек 2 деген цифрдан,

$\ldots$ , тоғызыншы сан тек 9 деген цифрдан құралған. Осы сандар ішінде қандай да бір екі санның көбейтіндісі қалған сандардын көбейтіндісіне бөліне ала ма?
комментарий/решение(1)