Олимпиада имени Леонарда Эйлера2011-2012 учебный год, I тур дистанционного этапа

В треугольнике $ABC$ угол $C$ втрое больше угла $A$, а сторона $AB$ вдвое больше стороны $BC$. Докажите, что угол $ABC$ равен 60 градусам.

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Решение. Пусть $D$ — середина стороны $AB$. Так как $BD = BC$, то треугольник $BCD$ равнобедренный. Обозначим $\angle CAD = x$, $\angle ACD = y$. Тогда $\angle DCB = 3x-y$, а $\angle CDB = x+y$. Поскольку $\angle DCB = \angle CDB$, то $3x-y = x+y$, откуда $y = x$. Но тогда $DC = DA = DB = BC$, откуда треугольник $BCD$ — равносторонний, и, следовательно, угол $B$ равен 60 градусам.