Олимпиада имени Леонарда Эйлера
2011-2012 учебный год, I тур дистанционного этапа

Задача №1.  Можно ли в половину клеток доски $12 \times 12 $ поместить по фишке так, чтобы в одном квадрате $2\times 2$, составленном из клеток доски, было нечётное количество фишек, а в остальных — чётное?
комментарий/решение(2)

---

Задача №2.  В треугольнике $ABC$ угол $C$ втрое больше угла $A$, а сторона $AB$ вдвое больше стороны $BC$. Докажите, что угол $ABC$ равен 60 градусам.
комментарий/решение(1)

---

Задача №3.  Даны 5 различных натуральных чисел. Произведение двух наименьших из них больше 25, а произведение двух наибольших — меньше 75. Найдите все эти числа (укажите все возможные варианты и докажите, что других вариантов нет).
комментарий/решение(1)

---

Задача №4.  У Али-Бабы есть 40 мешков с монетами. Джинн может по просьбе Али-Бабы определить количество монет в каждом из двух указанных ему мешков, но при этом возьмёт за работу одну монету из одного из этих мешков (и Али-Баба не увидит, из какого именно). Сможет ли Али-Баба действовать так, чтобы после не более чем 100 таких процедур точно сказать, сколько монет в данный момент лежит в каждом из мешков, кроме тех двух, которые джинн пересчитывал последними? В каждом мешке — не меньше 1000 монет.
комментарий/решение(1)

---

Задача №5.  Даны девять натуральных чисел, причём запись первого состоит только из единиц, второго — только из двоек, $\dots$, девятого — только из девяток. Может ли произведение каких-то двух из этих чисел делиться на произведение остальных?
комментарий/решение(1)

---