Олимпиада имени Леонарда Эйлера2011-2012 учебный год, I тур дистанционного этапа

Можно ли в половину клеток доски $12 \times 12 $ поместить по фишке так, чтобы в одном квадрате $2\times 2$, составленном из клеток доски, было нечётное количество фишек, а в остальных — чётное?

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. Можно.
Решение 1. Первое решение. Поставим по фишке в каждую клетку первой, третьей, $\dots$, одиннадцатой строк. Тогда в каждом квадрате $2\times 2$ будет по две фишки. Теперь сдвинем фишку из левого верхнего угла на одну клетку вниз. В угловом квадрате осталось две фишки, в квадрате под ним их стало три, а во всех остальных квадратах $2\times 2$ не поменялось вообще ничего.

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №2.     Ответ. Можно.
Решение 2. Поставим 72 фишки в прямоугольник $8\times 9$, один из углов которого совпадает с углом квадрата. Тогда нечётное число фишек будет в единственном квадратике — том, центр которого совпадает с углом прямоугольника из фишек, противоположным углу квадрата.