қазақша
русскийМатематикадан Эйлер олимпиадасы, 2010-2011 оқу жылы, Дистанциялық кезеңнің 4-ші туры
Есеп №1. Сидоров тұрғынында бір тонна круглик пен тонна шмуглик алуға жететіндей ақшасы бар. Егер де ол кругликтерді $20 \%$-ға көп алса, оған шмуглик алуға $40 \%$ жеңілдік жасайды және оған қалған ақша шмуглик алуға жетеді. Ал егер ол шмугліктерді $40 \%$-ға көп алса, онда оған кругликтерге $20 \%$ жеңілдік жасайды және қалған ақша кругликтер алуға қайтадан жетеді. Тонна круглик қымбат па, әлде тонна шмуглик қымбат па? Қанша есеге? (Екі жағдайда да, барлық ақша жаратылады.)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №2. Бұрышы $30 ^\circ $ болатын тік бұрышты үшбұрышты кем дегенде бір медианасы екіншісінің кем дегенде бір биссектриссасына параллель болатындай екі үшбұрышқа бөліңіз.
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Есеп №3. $a$, $b$, $c$ натурал сандары $\mbox{ЕҮОБ}(ab, c)= \mbox{ЕҮОБ}(a, bc)$ ботатындай алынған. $a/c$ бөлшегін қысқартқаннан кейін алымы мен бөлімі $b$ саныман өзара жай болатын қысқармайтын бөлшек шығатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №4. $ABCDE$ бесбұрышында $AB=BC=CD=DE$, $\angle B=96 ^\circ$ және $ \angle C=\angle D=108 ^\circ$. $E$ бұрышын табыңыз.
\otv $102 ^\circ $.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №5. Петя $3 \times 3$ таблицасына $1$, $2$, $\ldots$, $9$ сандары жазылған карточкаларды қойып шығады. Ол теріс қарағаннан кейін, Витя, қабырғалары ортақ екі көршілес картаны орнымен ауыстырады да, барлық карталарды теріс қаратады. Содан кейін Петя бір рет бір немесе бірнеше картаға көрсетеді, ал Витя оған сол карталардың сандарының қосындысын айтады. Петя карталардың орналасуын кез келген жағдайда білетіндей стратегиясы бар ма?
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)