Математикадан Эйлер олимпиадасы, 2010-2011 оқу жылы, Дистанциялық кезеңнің 4-ші туры


Сидоров тұрғынында бір тонна круглик пен тонна шмуглик алуға жететіндей ақшасы бар. Егер де ол кругликтерді 20%-ға көп алса, оған шмуглик алуға 40% жеңілдік жасайды және оған қалған ақша шмуглик алуға жетеді. Ал егер ол шмугліктерді 40%-ға көп алса, онда оған кругликтерге 20% жеңілдік жасайды және қалған ақша кругликтер алуға қайтадан жетеді. Тонна круглик қымбат па, әлде тонна шмуглик қымбат па? Қанша есеге? (Екі жағдайда да, барлық ақша жаратылады.)
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. Тонна кругликов стоит вдвое дороже тонны шмугликов.
Решение. Пусть тонна кругликов стоит x денег, а тонна шмугликов y денег. Тогда у гражданина Сидорова (x+y) денег. Если он купит на 20% больше кругликов, а тонну шмугликов купит с 40%-ой скидкой, то он потратит 1,2x+0,6y и это не больше, чем (x+y). Если же он купит на 40% шмугликов больше, а тонну кругликов с 20%-ой скидкой, то это будет стоить 1,4y+0,8x, и это не больше, чем (x+y). Получаем два неравенства: {1,2x+0,6yx+y0,8x+1,4yx+y. Из первого неравенства следует что 0,2x0,4y, т.е. x2y. А из второго следует, что 0,4y0,2x, т.е. 2yx. Сравнивая два неравенства, приходим к выводу, что x=2y.