Математикадан Эйлер олимпиадасы, 2010-2011 оқу жылы, Дистанциялық кезеңнің 4-ші туры

Сидоров тұрғынында бір тонна круглик пен тонна шмуглик алуға жететіндей ақшасы бар. Егер де ол кругликтерді $20 \%$-ға көп алса, оған шмуглик алуға $40 \%$ жеңілдік жасайды және оған қалған ақша шмуглик алуға жетеді. Ал егер ол шмугліктерді $40 \%$-ға көп алса, онда оған кругликтерге $20 \%$ жеңілдік жасайды және қалған ақша кругликтер алуға қайтадан жетеді. Тонна круглик қымбат па, әлде тонна шмуглик қымбат па? Қанша есеге? (Екі жағдайда да, барлық ақша жаратылады.)

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. Тонна кругликов стоит вдвое дороже тонны шмугликов.
Решение. Пусть тонна кругликов стоит $x$ денег, а тонна шмугликов $y$ денег. Тогда у гражданина Сидорова $(x+y)$ денег. Если он купит на $20\%$ больше кругликов, а тонну шмугликов купит с $40 \%$-ой скидкой, то он потратит $1,\!2x+0,\!6y$ и это не больше, чем $(x+y)$. Если же он купит на $40 \%$ шмугликов больше, а тонну кругликов с $20 \%$-ой скидкой, то это будет стоить $1,\!4y+0,\!8x$, и это не больше, чем $(x+y)$. Получаем два неравенства: $\left\{ \begin{array}{l} 1,2x + 0,6y \le x + y\\ 0,8x + 1,4y \le x + y \end{array} \right. .$ Из первого неравенства следует что $0,\!2x \leq 0,\!4y$, т.е. $x \leq 2y$. А из второго следует, что $0,\!4y \leq 0,\!2x$, т.е. $2y \leq x$. Сравнивая два неравенства, приходим к выводу, что $x = 2y$.